Question

В трапецію вписано коло радіуса r. Знайдіть площу трапеції, якщо кути при більшій основі рівні α та β.

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти площу трапеції, потрібно знати довжини її основ та висоту. У даному випадку, замість довжин основ, ми маємо кути при більшій основі.

Давайте побудуємо схему трапеції для кращого розуміння:

A___________B

/ \

/ \

/ \

D-----------------C

Основи трапеції позначимо як AB (більша основа) та CD (менша основа). З'єднаємо центр кола з вершинами трапеції, утворюючи радіуси OA і OB. Висоту трапеції позначимо як h.

Оскільки кути при більшій основі рівні α та β, то ми можемо сказати, що:

∠AOB = α

∠DOC = β

Оскільки кути при вершинах трапеції суплементарні, ми можемо записати:

∠AOB + ∠DOC = 180°

Або:

α + β = 180°

Також, оскільки OA та OB є радіусами кола, вони рівні між собою:

OA = OB = r

Тепер ми можемо використати трикутник OAB для знаходження висоти трапеції. Оскільки OA і OB - радіуси кола, вони перпендикулярні відрізку AB. Тому, висота трапеції h буде рівна 2r.

Тепер, використовуючи формулу для площі трапеції:

Площа = (сума основ) * (висота) / 2

Площа = (AB + CD) * h / 2

Площа = (AB + CD) * 2r / 2

Площа = (AB + CD) * r

Ми не маємо конкретних значень для α, β, AB та CD, тому площу трапеції можна виразити як функцію цих змінних:

Площа = (AB + CD) * r = (AB + CD) * r = (2r + CD) * r = 2r^2 + CDr

Таким чином, площа трапеції залежить від радіуса кола і довжини меншої основи.

Объяснение:

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивості трапеції та вписаного кола.

Означимо наступні елементи:

- \( r \) - радіус вписаного кола (він же відстань від центра кола до одного з основ трапеції); - \( h \) - висота трапеції (відстань між основами); - \( a \) - менша основа трапеції; - \( b \) - більша основа трапеції.

Далі використовуємо властивості трапеції та вписаного кола:

1. Відомо, що діагональ трапеції є діаметром вписаного кола. Таким чином, \( h = 2r \).

2. Використовуємо трикутник, утворений радіусом, висотою та половиною відстані між основами. Він є прямокутним трикутником, тому використаємо тригонометричні функції:

\[ \tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{h}{\frac{b-a}{2}} \]

\[ \tan{\frac{\beta}{2}} = \frac{h}{\frac{b+a}{2}} \]

Розв'язавши ці рівняння відносно \( h \), ми отримаємо:

\[ h = \frac{b-a}{2 \tan{\frac{\alpha}{2}}} = \frac{b+a}{2 \tan{\frac{\beta}{2}}} \]

3. Площа трапеції обчислюється як сума площі двох прямокутників, один з яких має висоту \( h \), а інший має висоту \( r \):

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot h + \frac{1}{2} \cdot (b-a) \cdot r \]

Підставимо значення \( h \) та \( r \):

\[ S = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{b-a}{2 \tan{\frac{\alpha}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot (b-a) \cdot r \]

Або

\[ S = \frac{(a+b)(b-a)}{4 \tan{\frac{\alpha}{2}}} + \frac{(b-a)r}{2} \]

Це і є формула для обчислення площі трапеції в залежності від радіуса вписаного кола та кутів при більшій основі.