Question

Точка М середина сторони BC прямокутника ABCD. Відрізки MA i MD взаємно перпендикулярні. Знайдіть сторони прямокутника ABCD якщо його периметр дорівнює 54 дм.

Answer 1

Ответ:

Нехай AB = a і BC = b - сторони прямокутника ABCD.

Ми знаємо, що точка М є серединою сторони BC, тому MC = MD = (1/2)b.

Також, оскільки відрізки MA і MD взаємно перпендикулярні, ми можемо використовувати теорему Піфагора для прямокутного трикутника MAD:

MA^2 + MD^2 = AD^2

Знаємо, що MA = b/2 і MD = (1/2)b, тому підставимо ці значення:

(b/2)^2 + (1/2)b^2 = AD^2

(b^2/4) + (b^2/4) = AD^2

(b^2/2) = AD^2

AD = b/√2

Тепер розглянемо периметр прямокутника:

Периметр = 2(a + b) = 54 дм

Тепер ми маємо два рівняння:

AD = b/√2

2(a + b) = 54

Спростимо друге рівняння:

a + b = 27

Тепер ми можемо використовувати ці два рівняння для визначення значень a і b. Підставимо значення AD з першого рівняння в друге:

(b/√2) + b = 27

Помножимо обидва боки на √2, щоб позбутися дробу:

b + b√2 = 27√2

b(1 + √2) = 27√2

b = (27√2) / (1 + √2)

Тепер, знаючи значення b, можна знайти значення a, використовуючи рівняння a + b = 27:

a + [(27√2) / (1 + √2)] = 27

a = 27 - [(27√2) / (1 + √2)]

Тепер ви можете обчислити значення a та b.

Объяснение:

Answer 2

Позначимо сторони прямокутника ABCD як a і b, де a - довжина сторони AB, а b - довжина сторони BC.

Периметр прямокутника ABCD розраховується за формулою: P = 2a + 2b = 54 дм.

Також, нам відомо, що точка M є серединою сторони BC, тому BM = MC = 1/2 * b.

За умовою, відрізки MA і MD взаємно перпендикулярні. Це означає, що трікутник MAB - прямокутний з прямим кутом в точці M. Аналогічно, трікутник MDC - прямокутний з прямим кутом в точці M.

Розглянемо першу пару взаємно перпендикулярних відрізків: MA і MD. Використовуючи теорему Піфагора для трікутника MAB отримуємо: MA^2 + AB^2 = MB^2. Розглядаючи прямрутний сторони BCD, отримаємо: MD^2 + DC^2 = MC^2.

Знаючи, що BM = MC = 1/2 * b, можемо використати мрівняння вище: MA^2 + AB^2 = MB^2, MD^2 + DC^2 = MC^2

Виразимо MB та MC через b: MB = BM = 1/2 * b, MC = 1/2 * b.

Підставимо ці значення в умову: MA^2 + AB^2 = (1/2 * b)^2, MD^2 + DC^2 = (1/2 * b)^2.

Також, знаючи, що точка M є серединою сторони BC, можемо встановити зв'язок між a та b: AB + CD = a.

Отже, маємо систему рівнянь: 2a + 2b = 54, MA^2 + AB^2 = (1/2 * b)^2, MD^2 + DC^2 = (1/2 * b)^2, AB + CD = a.

Розв'яжемо цю систему рівнянь для знаходження сторін прямокутника ABCD. Буде використовуватися алгебраічний метод розв'язання системи рівнянь.