Question

СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛЛОВ Чи є чотирикутник ABCDпаралелограмом якщо A(-7; -2) B(-5; 4) C(5; 2) D(3; -4)

Answer 1

Ответ:

Щоб визначити, чи є чотирикутник \(ABCD\) паралелограмом, давайте перевіримо, чи вірно виконуються дві умови для паралелограма:

1. Протилежні сторони паралельні.

2. Протилежні сторони рівні за довжиною.

1. Вектори сторін можна знайти, використовуючи координати двох точок та використовуючи формулу відстані між двома точками:

Вектор \(AB\) можна знайти, віднімаючи координати точки \(A\) з координатами точки \(B\):

\[AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-5 - (-7), 4 - (-2)) = (2, 6)\]

Вектор \(CD\) можна знайти аналогічно:

\[CD = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (3 - 5, -4 - 2) = (-2, -6)\]

Якщо вектори \(AB\) і \(CD\) паралельні (що в нашому випадку вони є), це відповідає першій умові.

2. Тепер перевіримо, чи рівні за довжиною протилежні сторони:

Відстань між точками \(A(-7, -2)\) і \(B(-5, 4)\) можна знайти за допомогою формули відстані між двома точками:

\[AB = \sqrt{(-5 - (-7))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}\]

Відстань між точками \(C(5, 2)\) і \(D(3, -4)\) можна знайти також:

\[CD = \sqrt{(3 - 5)^2 + ((-4) - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40}\]

Якщо \(\sqrt{52} = \sqrt{40}\), то друга умова також виконана.

Отже, за умови, що вектори сторін паралельні і протилежні сторони рівні за довжиною, чотирикутник \(ABCD\) є паралелограмом.

Answer 2

Щоб визначити, чи є чотирикутник ABCD паралелограмом, потрібно перевірити, чи виконується одна з двох умов для паралелограма:

1. Протилежні сторони паралельні. 2. Протилежні кути рівні.

Давайте перевіримо ці умови для чотирикутника ABCD з вказаними координатами:

A(-7, -2), B(-5, 4), C(5, 2), D(3, -4).

1. Перевірка паралельності протилежних сторін:

Вектор сторони AB: \( \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (-5 - (-7), 4 - (-2)) = (2, 6) \). Вектор сторони CD: \( \overrightarrow{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (3 - 5, -4 - 2) = (-2, -6) \).

Якщо вектори пропорційні (один є кратним іншому), то сторони паралельні.

\(\frac{2}{-2} = \frac{6}{-6} = -1\), тобто вектори пропорційні.

Отже, сторони AB і CD паралельні.

2. Перевірка рівності протилежних кутів:

Кут між стороною AB і віссю x: \( \theta_{AB} = \arctan\left(\frac{6}{2}\right) = \arctan(3) \).

Кут між стороною CD і віссю x: \( \theta_{CD} = \arctan\left(\frac{-6}{-2}\right) = \arctan(3) \).

Якщо кути рівні, то вони протилежні кути паралелограма.

Отже, кути \(\theta_{AB}\) і \(\theta_{CD}\) рівні.

Оскільки обидві умови виконані, можна зробити висновок, що чотирикутник ABCD є паралелограмом.