Question

У трикутнику ABC бісектриса BM ділить сторону на відрізки AM= 18 см і CM 12 см. Знайди сторони AB та BC якщо їх сума дорівнює 75 см

Answer 1

За теоремою про бісектрису в трикутнику, бісектриса ділить сторону зі сумарною довжиною відрізків, що лежать на стороні, пропорційно до довжин сусідніх відрізків.

В даному випадку ми маємо, що \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{AB}}{{BC}}\). Підставивши відомі значення, отримуємо: \(\frac{{18}}{{12}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Скоротивши дробове вираження, маємо: \(\frac{{3}}{{2}} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Ми також знаємо, що сума сторін трикутника дорівнює 75 см, тобто \(AB + BC = 75\).

Тепер ми можемо використати систему рівнянь для знаходження довжин сторін трикутника. Підставимо в рівняння значення \(\frac{{3}}{{2}}\) з попереднього рівняння в друге рівняння системи та розв'яжемо його:

\(\begin{cases} AB + BC = 75 \\ AB = \frac{{3}}{{2}}BC \end{cases}\).

Підставляючи значення \(AB = \frac{{3}}{{2}}BC\) у перше рівняння, отримаємо:

\(\frac{{3}}{{2}}BC + BC = 75\).

Легко можемо скоротити це рівняння до: \( \frac{{5}}{{2}}BC = 75\).

Отже \( BC = \frac{{2}}{{5}} \cdot 75 = 30\). Підставляючи значення \(BC = 30\) у друге рівняння, отримаємо:

\(AB = \frac{{3}}{{2}} \cdot 30 = 45\).

Таким чином, сторона \(AB\) дорівнює 45 см, а сторона \(BC\) дорівнює 30 см.