Question

Визначити проміжки зростання та спадання функції Завдання 1f(x)= 2х3+6х2+3Завдання 2f(x)= х5+2х3+х

Answer 1

Звідси f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 3.

Щоб визначити проміжки зростання та спадання цієї функції, необхідно знайти похідну та визначити її знаки на різних проміжках.

1. Знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = d/dx (2x^3 + 6x^2 + 3) f'(x) = 6x^2 + 12x

2. Тепер знайдемо критичні точки, рівні 0:

6x^2 + 12x = 0 6x(x + 2) = 0

Точки: x = 0 та x = -2.

3. Проведемо тестування похідної на різних інтервалах, які створюють критичні точки.

3.1. Візьмемо інтервал x < -2: Підставимо x = -3 у f'(x) = 6x^2 + 12x: f'(-3) = 6(-3)^2 + 12(-3) = 54 - 36 = 18 > 0.

3.2. Візьмемо інтервал -2 < x < 0: Підставимо x = -1 у f'(x) = 6x^2 + 12x: f'(-1) = 6(-1)^2 + 12(-1) = 6 - 12 = -6 < 0.

3.3. Візьмемо інтервал x > 0: Підставимо x = 1 у f'(x) = 6x^2 + 12x: f'(1) = 6(1)^2 + 12(1) = 6 + 12 = 18 > 0.

Знаки похідної на цих інтервалах показують:

- Від'ємний знак: -2 < x < 0 (функція спадає на цьому проміжку). - Додатній знак: x < -2 та x > 0 (функція зростає на цих проміжках).

Тепер розглянемо друге завдання, для функції f(x) = x^5 + 2x^3 + x.

1. Знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = d/dx (x^5 + 2x^3 + x) f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 1

2. Знайдемо критичні точки, рівні 0:

5x^4 + 6x^2 + 1 = 0

На жаль, у цьому випадку рівняння квадратне відносно \( x^2 \), і його складно розв'язати аналітично. Отже, можна скористатися числовим методом для знаходження коренів цього рівняння або графічним способом.

Після знаходження критичних точок можна провести тестування похідної на різних проміжках, аналогічно попередньому завданню, щоб визначити проміжки зростання та спадання функції \( f(x) = x^5 + 2x^3 + x \).