Question

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника АВС перетинаються в точці О.Знайдіть довжину сторони АВ,якщо ОА=8см, АОВ=60°​

Answer 1

Ответ:

AB = 8 см

Объяснение:

Дано: ОА = 8см, ∠АОВ = 60°; OQ,OE,OF - cерединні перпендикуляри

Знайти: AB - ?

Розв'язання:

За теоремою точка перетину серединних перпендикулярів є центром описаного кола, отже за умовою точка O - центр вписаного кола трикутника ΔABC, тоді OA = OB як радіуси описаного кола і звідци трикутник ΔAOB - рівнобедрений за означенням.

Розглянемо рівнобедрений трикуник ΔAOB. Так як за умовою OF - серединний перпендикуляр, то відрізок OF - медіана трикутника ΔAOB.

За теоремою медіана рівнобедреного трикутника є його бісектрисою і висотою, отже OF - бісектриса кута ∠AOB. За означенням бісектриса ∠AOF = ∠BOF = ∠AOB : 2 = 60° : 2 = 30°.

Розглянемо прямокутний трикуник ΔAOF (OF ⊥ AB за умовою).

$\sin \angle AOF = \dfrac{AF}{AO} \Longrightarrow AF = AO \cdot \sin \angle AOF = 8 \cdot \sin 30^{\circ} = 8 \cdot 0,5 = 4$ см.

Так як OF - медіана трикутника ΔAOB, то AF = BF, тоді за основною властивістю відрізка:

AB = AF + FB = 2BF = 2AF = 2 * 4 = 8 см.

Answer 2

Щоб знайти довжину сторони АВ, потрібно використати властивості серединних перпендикулярів і властивості трикутника.

Серединний перпендикуляр до сторони трикутника - це пряма, що проходить через середину цієї сторони і перпендикулярна до неї. Кожна точка на серединному перпендикулярі рівновіддалена від кінців сторони .

Якщо серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в точці О, то ця точка О є центром описаного навколо трикутника кола .

Таким чином, точка О є центром кола, описаного навколо трикутника АВС. Це означає, що радіус цього кола дорівнює відстані від центру кола (точки О) до будь-якої сторони трикутника.

В нашому випадку, відстань від точки О до сторони АВ дорівнює довжині сторони АВ. Отже, довжина сторони АВ дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника.

Радіус кола можна знайти, використовуючи формулу радіуса кола:

R = OA / sin(AOV)

де OA - довжина відрізка від центру кола до будь-якої точки на його периметрі (в нашому випадку це ОА = 8 см), AOV - кут між цими відрізками (в нашому випадку це АОВ = 60°).

Підставляючи значення в формулу, отримаємо:

R = 8 см / sin(60°) = 8 см / √3 ≈ 5.196 см

Отже, довжина сторони АВ дорівнює приблизно 5.196 см.