Question

Даны пять точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две из них, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все данные точки лежат на одной прямой.

Answer 1

Если мы возьмём 1 и 2 точку и соединим, то мы знаем что ещё 1 из оставшихся точек лежит на этой прямой, пусть это будет точка 3. Теперь соединим 4 и 5 точку. По условию  отрезок 4-5 имеет ещё 1 точку лежащую на прямой. И это 1 2 или 3 точка, но мы знаем что 1 2 3 лежат на одной прямой следовательно все 5 точек лежат на одной прямой

Answer 2

Для доказательства того, что все данные точки лежат на одной прямой, можно использовать метод исключения.

Предположим, что все точки не лежат на одной прямой. Тогда существуют три точки A, B и C, такие что прямая, проходящая через A и B, не содержит точку C. Аналогично, прямая, проходящая через B и C, не содержит точку A, а прямая, проходящая через C и A, не содержит точку B.

Таким образом, мы получили три прямые, каждая из которых проходит через две точки, но не содержит третью точку. Это противоречит условию задачи, поскольку каждая прямая, проходящая через любые две из данных точек, содержит по крайней мере одну из оставшихся точек.

Поэтому, мы приходим к выводу, что все данные точки должны лежать на одной прямой .

Важно отметить, что этот метод доказательства основан на предположении, что все точки не лежат на одной прямой, и использует это предположение для вывода противоречия. Это является типичным примером метода исключения в математическом доказательстве.