Question

В тетраэдре ABCD точка M- середина ребра AD, а точка N - середина ребра BC. На продолжении AN за точку N взята точка P так, что AP=7/6*AN. Через P проведена прямая, параллельная BM. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри тетраэдра, если BM=a.

Answer 1

Построим сечение плоскостью через точки PMB

X - пересечение BP и AC

K - пересечение XM и DC

KMB - сечение

PT||BM, QT - искомый отрезок

В плоскости ABC:

проведем NY||BX

CY/YX =CN/NB =1

AY/YX =AN/NP =6/1

CY=YX=x, AY=6x, AC=5x => AC/CX =5/2

проведем NZ||AX

XZ/ZB =CN/NB =1

XZ/ZP =AN/NP =6/1

XZ=ZB=6x, ZP=x, PB=5x => XP/PB =7/5

В плоскости ADC:

AC/CX *XK/KM *MD/DA =1 (т Менелая) => 5/2 *XK/KM *1/2 =1 => XK/KM =4/5

В плоскости сечения KMB:

XT/TM =XP/PB =7/5 => TM/XM =5/12

XK/KM =4/5 => KM/XM =5/9

TM/KM =5/12 *9/5 =3/4 => KT/TM =1/4

QT/BM =KT/KM =1/4 => QT =1/4 a

Answer 2

Задача

В тетраэдре ABCD даны точки M и N - середины ребер AD и BC соответственно. На продолжении отрезка AN за точку N взята точка P так, что AP = (7/6) * AN. Через P проведена прямая, параллельная BM. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри тетраэдра, если BM = a.

Решение

Чтобы найти длину отрезка прямой, лежащего внутри тетраэдра, нам нужно найти координаты точек P и B, а затем рассчитать расстояние между этими точками.

Для начала, давайте рассмотрим координаты точек M и N. Поскольку точка M является серединой ребра AD, мы можем найти ее координаты, используя среднюю точку формулы:

M = (A + D) / 2

Аналогично, координаты точки N могут быть найдены с использованием средней точки формулы:

N = (B + C) / 2

Теперь, чтобы найти координаты точки P, мы можем использовать формулу для нахождения точки на отрезке между двумя заданными точками:

P = N + (AP / AN) * (N - A)

Так как AP = (7/6) * AN, мы можем подставить это значение в формулу:

P = N + ((7/6) * AN / AN) * (N - A)

Упрощая выражение, получим:

P = N + (7/6) * (N - A)

Теперь нам нужно найти координаты точки B. Поскольку прямая, проходящая через P, параллельна BM, мы можем использовать формулу для нахождения точки на прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку:

B' = P + (BM / ||BM||) * (N - P)

где B' - искомая точка, BM - вектор заданной прямой, ||BM|| - длина вектора BM, N - заданная точка, P - точка, через которую проходит параллельная прямая.

Теперь мы можем рассчитать расстояние между точками P и B'. Для этого мы используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB' = ||B' - P||

где AB' - искомое расстояние, B' - искомая точка, P - заданная точка.

Теперь, когда у нас есть все формулы, мы можем приступить к вычислениям.

Решение: