Question

Сторона АВ трикутника АВС лежить у площині α, а вершина С не лежить в цій площині. Точки М і N — середини сторін АС і ВС від­повідно. Доведіть, що пряма MN паралельна площині α.

Answer 1

1. М - середина АВ 
N - середина ВС 
MN - средняя линия АВС, отсюда следует МN параллельно АС и равна 1/2 * АС (это тебе еще пригодится под пунктом Б) 
2.Стороны АВ и ВС не принадлежат плоскости альфа, т. к вершина В не лежит в этой плоскости. По аксиоме 2 стереометрии, если 2 точки принадлежат пл-ти, то и вся прямая лежит в пл-ти. А у нас В НЕ лежит. Отсюда MN не лежит в пл-ти 
3.По теореме: Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости ( сторона АС) ,то она также параллельна этой пл-ти, отсюда следует, что MN параллельна альфа) 

Answer 2

Для доведення, що пряма MN паралельна площині α, ми можемо скористатися властивістю серединної паралельності.

Властивість серединної паралельності:

Якщо на двох сторонах трикутника точки М і N є серединами цих сторін, то пряма MN паралельна третій стороні трикутника.

Доведення:

1. За умовою задачі, точки М і N є серединами сторін АС і ВС відповідно. 2. Оскільки точка М є серединою сторони АС, то вектор МС ділить сторону АС навпіл. 3. Аналогічно, оскільки точка N є серединою сторони ВС, вектор NС ділить сторону ВС навпіл. 4. Оскільки МС і NС ділять відповідні сторони навпіл, то вектор МС = вектор SC і вектор NС = вектор SC. 5. Отже, вектор МС = вектор NС. 6. Припустимо, що пряма MN не паралельна площині α. Тоді вектор МС і вектор NС будуть розташовані в різних площинах. 7. Але, якщо вектор МС = вектор NС, то це означає, що точки М, С і N лежать в одній площині. 8. Оскільки вершина С не лежить в площині α, то це означає, що точки М, С і N лежать в площині, яка не є площиною α. 9. Але це суперечить нашій умові, що пряма MN паралельна площині α. 10. Отже, наше припущення, що пряма MN не паралельна площині α, є невірним. 11. Таким чином, ми довели, що пряма MN паралельна площині α.