Question

Навколо правильного трикутника описано коло та в нього вписане коло. Сторона трикутника 4см. Знайдіть довжини цих кіл.

Answer 1

Ответ:

4π/√3 см

8π/√3 см

Объяснение:

r=a/2√3, где а- сторона треугольника.

r=4/2√3=2/√3 см радиус вписанной окружности.

С1=2πr=2*π*2/√3=4π/√3 см длина вписанной окружности.

R=a/√3=4/√3 см радиус описанной окружности.

С2=2πR=2π4/3=8π/√3 см длина описанной окружности.

Answer 2

Коло, описане навколо трикутника, називається описаним колом, тоді як коло, вписане у трикутник, називається вписаним колом.

Довжина радіуса описаного кола трикутника може бути знайдена за формулою, де радіус описаного кола дорівнює половині довжини гіпотенузи трикутника. У випадку правильного трикутника гіпотенуза (сторона, що лежить проти прямого кута) дорівнює \(\sqrt{2}\) разів довжині катету, або в даному випадку \(4 \, \text{см}\). Тому, довжина гіпотенузи становить \(4 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\).

Довжина радіуса вписаного кола в правильний трикутник може бути обчислена за формулою, в якій радіус вписаного кола рівний площі трикутника поділеній на півпериметр трикутника, де півпериметр обчислюється за формулою \(s = \frac{a + b + c}{2}\), де \(a\), \(b\) і \(c\) - довжини сторін трикутника.

У правильному трикутнику усі сторони рівні, тому півпериметр \(s\) дорівнює \(\frac{3 \cdot 4 \, \text{см}}{2} = 6 \, \text{см}\).

Довжина радіуса вписаного кола трикутника \(r\) дорівнює \(r = \frac{\text{площа}}{\text{півпериметр}}\).

Площа правильного трикутника може бути обчислена за формулою Герона: \(S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}\), де \(s\) - півпериметр, \(a\), \(b\) і \(c\) - довжини сторін трикутника.

Підставимо відомі значення в формулу:

\[S = \sqrt{6 \, \text{см} \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см}) \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см}) \cdot (6 \, \text{см} - 4 \, \text{см})}\] \[S = \sqrt{6 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см}}\] \[S = \sqrt{48 \, \text{см}^2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Отже, довжина радіуса вписаного кола правильного трикутника становить:

\[r = \frac{4\sqrt{3} \, \text{см}^2}{6 \, \text{см}} = \frac{2\sqrt{3} \, \text{см}}{3}\]

Таким чином, довжина радіуса описаного кола \(4 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\), а радіуса вписаного кола \(\frac{2\sqrt{3} \, \text{см}}{3}\).