Question

Найдите отношения сторон AC : BC и AB : BC в треугольнике ABC, в котором: а) угол А= 45°, угол В= 30°; б) угол A= 120°, угол B= 30°​

Answer 1

Стороны треугольника (любого) пропорциональны синусам противолежащих углов (Теорема Синусов), поэтому

а)

∠C = 180° - 45° - 30° = 105°

AC ÷ BC = sin B ÷ sin A = sin 30° ÷ sin 45° = 0,5 ÷ (0,5 · √2) = 1 ÷ √2;

AB ÷ BC = sin C ÷ sin A = sin 105° ÷ sin 45° = sin (90° + 15°) ÷ sin 45° = cos 15° ÷ sin 45°;

Примечание:

Учитывая, что cos 15° = 0,5·(√6 + √2), получаем, что AB ÷ BC = (√6 + √2) ÷ √2

б)

∠C = 180° - 120° - 30° = 30° ⇒ ∠B = ∠C ⇒ ΔABC - равнобедренный (по признак) ⇒ AB = AC

AC ÷ BC = AB ÷ BC = sin B ÷ sin A = sin C ÷ sin A = sin 30° ÷ sin 120° = 0,5 ÷ (0,5 · √3) = 1 ÷ √3;

Замечание: sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = 0,5√3

Answer 2

а) Для нахождения отношения сторон ac : bc в треугольнике abc с углами A = 45° и B = 30°, используем теорему синусов.

Согласно теореме синусов, отношение сторон равно отношению синусов противолежащих им углов.

В треугольнике abc, угол C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°.

Теперь мы можем использовать теорему синусов:

ac : bc = sin(A) : sin(B) = sin(45°) : sin(30°).

Для нахождения этих значений, нам нужно знать значения синусов 45° и 30°. Значение синуса 45° равно √2/2, а значение синуса 30° равно 1/2.

Подставляем эти значения:

ac : bc = (√2/2) : (1/2) = (√2/2) * (2/1) = √2.

Таким образом, отношение сторон ac : bc в треугольнике abc с углами A = 45° и B = 30° равно √2 : 1, или просто √2.

б) Для нахождения отношения сторон ab : bc в треугольнике abc с углами a = 120° и b = 30°, также используем теорему синусов.

Угол C = 180° - a - b = 180° - 120° - 30° = 30°.

Теперь мы можем использовать теорему синусов:

ab : bc = sin(a) : sin(b) = sin(120°) : sin(30°).

Значение синуса 120° равно √3/2, а значение синуса 30° равно 1/2.

Подставляем эти значения:

ab : bc = (√3/2) : (1/2) = (√3/2) * (2/1) = √3.

Таким образом, отношение сторон ab : bc в треугольнике abc с углами a = 120° и b = 30° равно √3 : 1, или просто √3.