Question

сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей​

Answer 1

Ответ:

Оба катета по 10 см.

Объяснение:

Площадь S = a*b/2 (a, b - длины катетов)

a+b = 20

a = b - 20

Тогда

S = a*b/2 = (b - 20)*b/2

Возьмём производную от функции f(b) = (b - 20)*b/2.

f''(b) = ((b - 20)*b)'/2 = (b^2 - 20b)'/2 = (2b - 20)/2

Максимум функции f достигается тогда, когда f'(b) = 0

(2b-20)*b/2 = 0

(2b - 20)b = 0

b = 0 или 2b - 20 = 0, то есть b = 10.

Первый ответ не имеет смысла, получаем

b = 10

a = 20-b = 20-10 = 10

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов.

Так как сумма длин катетов равна 20 см, то a + b = 20.

Чтобы найти длины катетов при которых площадь треугольника будет наибольшей, воспользуемся методом нахождения экстремума функции.

Заметим, что площадь S зависит от длин катетов a и b. Запишем функцию площади S как функцию одной переменной a:

S(a) = (a * (20 - a)) / 2

Для нахождения максимального значения площади, найдем точку экстремума, то есть найдем значение a, при котором производная функции S(a) равна нулю.

S'(a) = (20 - 2a) / 2 = 10 - a

10 - a = 0 a = 10

Таким образом, чтобы площадь треугольника была наибольшей, длины катетов должны быть равны 10 см.