Question

Авс - прямоугольный треугольник с гипотенузой ав. Сд - перпендикуляр на гипотенузу. На отрезке сд как на диаметре построена окружность. Она пересекает ас и вс в точках Е и F соответственно. Найти площадь АВС, если ЕС=50 FC=20

Answer 1

E=F=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

CEDF - прямоугольник, DF=EC=50, DE=FC=20

CD^2 =50^2 +20^2 (т Пифагора)

CDF =90-BDF =B

CDF~DBF (по двум углам)

CD/DB =CF/DF => DB =CD *50/20

Аналогично AD =CD *20/50

S(ABC) =1/2 AB*CD =1/2 (AD+DB) CD =1/2 *CD^2 (2/5 +5/2) =4205

Или (то же самое)

B =ADE =CDF

tg(CDF) =CF/DF

AD=CD*tgB, DB=CD*ctgB  

S(ABC) =1/2 (AD+DB) CD =1/2 CD^2 (tgB +ctgB)

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и окружности.

Пусть точка M - середина гипотенузы AC. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то точка M будет являться центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Также, поскольку SC является перпендикуляром к гипотенузе AC, то треугольник MSC тоже является прямоугольным.

Из условия известно, что СD является диаметром окружности. Следовательно, треугольник MDC - прямоугольный.

Поскольку EM и MF - радиусы окружности, то EM = MF = CD/2.

Заметим, что треугольники ESC и CDA подобны по двум углам. Поэтому:

ES/CD = EC/AD

Поскольку ES = FC = 20 и CD = 2*MF = 2*EC, то:

20/2*EC = EC/AD

Подставим известные значения:

20/2*EC = EC/AD

10/EC = EC/AD

AD = 10

Таким образом, мы нашли значение стороны AD - это 10.

Далее, зная все стороны треугольника ABC (AB = AC = ав, BC = CD = FC = 2*EC), можем найти его площадь:

S(ABC) = 1/2 * AB * AC = 1/2 * ав * ав = ав^2 / 2

Итак, площадь треугольника ABC равна ав^2 / 2.