Question

Через каждую из двух параллельных прямых проведены плоскости и они пересекаются. Как располагается линия пересечения плоскостей относительно заданных прямых?​

Answer 1

Ответ:

Параллельность прямой и плоскости

В пространстве прямая может лежать в плоскости, а может и не лежать в ней. При этом, если прямая не лежит в плоскости, то по аксиоме прямой и плоскости она не может иметь с этой плоскостью более одной общей точки. Это означает, что плоскость и не лежащая в ней прямая либо имеют одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, то они пересекаются. А если прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки?

Определение. Прямая и плоскость, не имеющие общей точки, называются параллельными.

Если прямая a и плоскость α параллельны, то записывают a ‖ α или α ‖ a. При этом говорят, что прямая a параллельна плоскости α или плоскость α параллельна прямой a.

При решении стереометрических задач обоснование параллельности прямой и плоскости при помощи только одного определения их параллельности часто затруднительно и не приводит к желаемому результату. В таких случаях пользуются признаками параллельности прямой и плоскости, один из которых выражает следующая теорема.

Теорема 9 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны.

Рис. 50

Дано: b ⊂ α, a ‖ b, a ⊄ α (рис. 50).

Доказать: a ‖ α.

Доказательство. Так как прямая b лежит в плоскости α, то (по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость (т. 5)) прямая a, параллельная прямой b, не может пересекать плоскость α; а так как прямая a по условию не лежит в плоскости α, то прямая a параллельна плоскости α. Теорема доказана. ▼

Answer 2

Линия пересечения плоскостей, проведенных через каждую из двух параллельных прямых, будет параллельна этим прямым и будет лежать между ними.

Представьте себе две параллельные прямые (допустим, они горизонтальны и лежат на одной высоте) и проведенные через них плоскости (например, вертикальные плоскости). Поскольку плоскости проходят через прямые и параллельны друг другу, линии пересечения этих плоскостей также будут параллельны этим прямым и будут лежать между ними.

Таким образом, линия пересечения плоскостей будет параллельна заданным прямым и будет находиться между ними.