Question

найдите площадь треугольника ABC Если а) А (-6; -2), В (4; 8), С (2; -8); б) A (-2; -2), B (1; 1), C (3; -7),

Answer 1

Ответ: 80.

Объяснение:

Построим координатную плоскость и нанесем точки А,В,С.  (смотри чертёж).

Чтобы найти площадь при таких данных, воспользуемся формулой Герона:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где  a, b и  c - стороны треугольника р=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника.

Но есть более простая формула:

S=1/2|(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1|);  (|  | - по модулю);

Обозначим  точки 1 - А; 2 - В; 3 - С.

Тогда S= 1/2| (4-(-6))(-8-2)-(2-(-6))(8-(-2))|=1/2| (10*(-6))-(10*10)|=1/2| (-60-100) |= 1/2 |-160|=1/2* 160=80.

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC можно воспользоваться формулой Герона или формулой половинного произведения основания на высоту.

а) Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Используем формулу расстояния между двумя точками: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((4 - (-6))² + (8 - (-2))²) = √(10² + 10²) = √(200) = 10√2 BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((2 - 4)² + ((-8) - 8)²) = √((-2)² + (-16)²) = √(4 + 256) = √(260) = 2√65 CA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-6 - 2)² + ((-2) - (-8))²) = √((-8)² + 6²) = √(64 + 36) = √(100) = 10

Теперь мы можем применить формулу Герона для расчета площади треугольника ABC: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)), где p - полупериметр треугольника, равный (AB + BC + CA) / 2.

p = (AB + BC + CA) / 2 = (10√2 + 2√65 + 10) / 2 = (10 + 10√2 + 2√65) / 2 = 5 + 5√2 + √65

S = √((5 + 5√2 + √65) * ((5 + 5√2 + √65) - 10√2) * ((5 + 5√2 + √65) - 2√65) * ((5 + 5√2 + √65) - 10))

Таким образом, площадь треугольника ABC при данных координатах точек A(-6, -2), B(4, 8), C(2, -8) равна корню из выражения:

S = √((5 + 5√2 + √65) * ((5 + 5√2 + √65) - 10√2) * ((5 + 5√2 + √65) - 2√65) * ((5 + 5√2 + √65) - 10))

б) Аналогично, найдем длины сторон треугольника ABC: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((1 - (-2))² + (1 - (-2))²) = √(3² + 3²) = √(18) = 3√2 BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((3 - 1)² + ((-7) - 1)²) = √(2² + (-8)²) = √(4 + 64) = √(68) = 2√17 CA = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-2 - 3)² + ((-2) - 1)²) = √((-5)² + (-3)²) = √(25 + 9) = √(34)

Теперь рассчитаем полупериметр треугольника ABC: p = (AB + BC + CA) / 2 = (3√2 + 2√17 + √34) / 2

Используем формулу площади треугольника по полупериметру и длинам его сторон: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA))

Таким образом, площадь треугольника ABC при данных координатах точек A(-2, -2), B(1, 1), C(3, -7) равна корню из выражения:

S = √((3√2 + 2√17 + √34) * ((3√2 + 2√17 + √34) - 3√2) * ((3√2 + 2√17 + √34) - 2√17) * ((3√2 + 2√17 + √34) - √34))