Question

Диагонали ромба равны 12 см и 16 см.Точка М, расположенная вне плоскости ромба,удалена от всех сторон ромба на 8 см.Найти расстояние от точки М до плоскости ромба.

Answer 1

Пусть МО - перпендикуляр к плоскости ромба.

В ромбе проведем ОК, ОН, ОР и ОТ  - перпендикуляры к соответствующим сторонам ромба. Эти отрезки - проекции наклонных МК, МН, МР и МТ на плоскость ромба. По теореме о трех перпендикулярах наклонные так же перпендикулярны сторонам ромба.
Расстояние от точки М до стороны ромба - длина перпендикуляра, проведенного из точки М к стороне.
Значит МК = МН = МР = МТ = 8 см - расстояния от точки М до сторон ромба.

На рисунке красные треугольники равны по гипотенузе и катету (МК = МН = МР = МТ по условию, МО - общий катет) , значит
ОН = ОК = ОР = ОТ , тогда точка О - центр окружности, вписанной в ромб, значит О совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам:
АО = АС/2 = 8 см
ВО = BD/2 = 6 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора АВ = √(АО² + ВО²) = √(64 + 36) = 10 см
Saob = 1/2 · AO · BO = 1/2 · AB · OK
8 · 6 = 10 · OK
OK = 8 · 6 / 10 = 4,8  см

ΔМОК: по теореме Пифагора
             МО = √(МК² - ОК²) = √(64 - 23,04) = √40,96 = 6,4 см

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Для начала, обозначим стороны ромба как \( a \) и \( b \), где \( a = 12 \, см \) и \( b = 16 \, см \). Также обозначим расстояние от точки \( M \) до плоскости ромба как \( h \), и расстояние от точки \( M \) до центра ромба как \( d \).

Мы можем выразить \( d \) через \( a \) и \( b \) следующим образом: \[ d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \, см \]

Теперь, чтобы найти расстояние от точки \( M \) до плоскости ромба \( h \), мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости: \[ h = |d - 8| \] \[ h = |10 - 8| \] \[ h = 2 \, см \]

Ответ: Расстояние от точки \( M \) до плоскости ромба равно \( 2 \, см \).