Question

Стороны треугольника площади 1 разделены в отношении 3 : 1 по часовой стрелке. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках деления.

Answer 1

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.

S ADF/S ABC =AD*AF/AB*AC =AD/AB *AF/AC =3/4 *1/4 =3/16

Аналогично BED и CFE.

Таким образом площадь DEF равна 1 -3/16 *3 =7/16

Answer 2

Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и c. Согласно условию, стороны треугольника разделены в отношении 3:1 по часовой стрелке.

То есть, первый отрезок, соединяющий первую и вторую точки деления, имеет длину 3x, где x - длина первого отрезка. Второй отрезок, соединяющий вторую и третью точки деления, имеет длину x. Третий отрезок, соединяющий третью и первую точки деления, имеет длину 3x.

Таким образом, длины сторон треугольника равны: a = 3x + 3x = 6x b = x + x = 2x c = 3x + 3x = 6x

Известно, что площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника равен: p = (a + b + c) / 2 = (6x + 2x + 6x) / 2 = 14x / 2 = 7x

Подставим значения в формулу площади: S = √(7x * (7x - 6x) * (7x - 2x) * (7x - 6x)) S = √(7x * x * 5x * x) S = √(7 * 5 * x^4) S = √(35x^4) S = x^2 * √35

Таким образом, площадь треугольника с вершинами в точках деления равна x^2 * √35.