Question

Решите пожалуйста, желательно с пояснением. 100 баллов Базисные векторы a и b , длины которых соответственно равны 2 и 3, образуют угол, равный 120°. Вектор х образует с векторами a и b углы, соответственно равные 30° и 90°. Найдите координаты этого вектора в базисе (a;b ), если |х| = 1.

Answer 1

........................................

Answer 2

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. У нас есть базисные векторы a и b, длины которых равны 2 и 3 соответственно, и они образуют угол 120°. Также у нас есть вектор x, который образует углы 30° и 90° с векторами a и b соответственно. Мы хотим найти координаты вектора x в базисе (a; b), при условии, что |x| = 1.

Для начала, давайте найдем координаты вектора x в стандартном базисе (назовем его (i, j)).

У нас есть угол между x и a равный 30°, и угол между x и b равный 90°. Известно, что косинус угла между векторами можно использовать для вычисления их скалярного произведения. Давайте воспользуемся этим:

1. Для угла 30° между x и a: cos(30°) = (x * a) / (|x| * |a|) где |x| = 1, |a| = 2. cos(30°) = (x * a) / (1 * 2) cos(30°) = (x * a) / 2 x * a = 2 * cos(30°) x * a = √3

2. Для угла 90° между x и b: cos(90°) = (x * b) / (|x| * |b|) где |x| = 1, |b| = 3. cos(90°) = (x * b) / (1 * 3) 0 = (x * b) / 3 x * b = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

x * a = √3 x * b = 0

Теперь мы можем найти координаты вектора x в базисе (a; b). Обратите внимание, что вектор x в базисе (a; b) будет иметь следующий вид: x = (x₁, x₂), где x₁ - координата вектора x в направлении a, x₂ - координата вектора x в направлении b.

Из уравнений выше мы видим, что x * a = x₁ * |a| = √3, и x * b = x₂ * |b| = 0.

Так как |a| = 2 и |b| = 3, мы можем записать:

x₁ * 2 = √3 x₂ * 3 = 0

Теперь решим эти уравнения:

1. x₁ * 2 = √3 x₁ = √3 / 2

2. x₂ * 3 = 0 x₂ = 0

Итак, координаты вектора x в базисе (a; b) равны x₁ = √3 / 2 и x₂ = 0.