Question

Двогранний кут при основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює 30°, а відрізок, що сполучає основу висоти піраміди і середину апофеми, - 2дм. Знайдіть об'єм піраміди.

Answer 1

Ответ: 32 дм³.

Объяснение:

Двогранний кут при основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює 30°, а відрізок, що сполучає основу висоти піраміди і середину апофеми, - 2дм. Знайдіть об'єм піраміди.

По свойству медианы прямоугольного треугольника она равна половине гипотенузы.

Отсюда апофема равна А = 2*2 = 4 дм.

Высота Н пирамиды как катет против угла 30 градусов равна половине гипотенузы (это апофема A).

Н = 4/2 = 2 дм.

Сторона а основания равна:

a = 2A*cos 30° = 2*4*(√3/2) = 4√3 дм.

Площадб основания S = a² = (4√3)² = 48 дм².

Теперь находим объём пирамиды.

V = (1/3)SH = (1/3)*48*2 = 32 дм³.

Answer 2

Відповідаю детально. Нехай дано правильну чотирикутну піраміду MABCD, де ABCD - квадрат зі стороною 2 дм. Двогранний кут при основі піраміди дорівнює 30°, тому ∠MLO = 30°, де L - середина апофеми ML, а O - основа висоти OM. За умовою, LO = 2 дм. Знайдемо довжину апофеми ML за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику MLO: ML² = MO² + LO², ML = √(MO² + 4). Знайдемо довжину висоти піраміди MO за теоремою косинусів в трикутнику MLO: MO² = ML² + LO² - 2ML × LO × cos ∠MLO, MO = √(ML² + 4 - 4ML × cos 30°). Знайдемо об'єм піраміди V за формулою: V = (1/3) × S × h, де S - площа основи, h - висота піраміди. S = AB² = 4 дм², h = MO. Отже, V = (1/3) × 4 × √(ML² + 4 - 4ML × cos 30°) дм³. Підставимо значення ML і спростимо: V = (4/3) × √(MO² + 4 - 4√(MO² + 4) × cos 30°) дм³. Це кінцева відповідь. Якщо потрібно отримати числове значення об'єму, можна скористатися калькулятором або заокруглити cos 30° до 0,87. Тоді V ≈ (4/3) × √(MO² + 4 - 3,48√(MO² + 4)) дм³.