Question

До кола з центром у точці О проведено в точці В дотичну АВ, кут ВОА : кут ВАО= 2:7. Знайдіть кут ВОА: кут ВАО

Answer 1

Ответ:

∠ВОА = 20°

∠ВАО = 70°

Объяснение:

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

∠ОВА = 90°

∠ВОА : ∠ВАО = 2 : 7

Пусть х - коэффициент пропорциональности (одна часть), тогда

∠ВОА = 2х,  ∠ВАО = 7х

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

ΔАОВ:   (∠ОВА = 90°)

∠ВОА + ∠ВАО = 90°

2x + 7x = 90°

9x = 90°

x = 10°

∠ВОА = 2 · 10° = 20°

∠ВАО = 7 · 10° = 70°

Answer 2

Задача визначення величини кутів ВОА і ВАО, коли відомо, що відношення кутів ВОА до ВАО дорівнює 2:7. Для розв'язання задачі використаємо властивість про відношення кутів у трикутнику, яка говорить, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Оскільки точка В є дотичною до кола, то кут ВАО є прямим кутом (90 градусів), оскільки дотична до кола завжди перпендикулярна до радіуса кола у точці дотику. Таким чином, сума кутів ВОА і АОВ дорівнює 90 градусам. Маємо дане, що відношення кутів ВОА до ВАО дорівнює 2:7. Отже, можемо записати: (кут ВОА) / (кут ВАО) = 2/7. За теоремою про внутрішні кути, сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам: кут ВОА + кут ВАО + кут АОВ = 180. Ми знаємо, що кут ВАО дорівнює 90 градусам, тому можемо записати: кут ВОА + 90 + кут АОВ = 180. Перенесемо 90 на протилежну сторону рівняння: кут ВОА + кут АОВ = 180 - 90, кут ВОА + кут АОВ = 90. Замінимо в цьому рівнянні кут АОВ на вираз, виражений через кут ВАО: кут ВОА + (кут ВОА * 7/2) = 90. Скоротимо це рівняння: (2+7/2) * кут ВОА = 90, (4+7) * кут ВОА = 180. Скоротимо ще трохи: 11 * кут ВОА = 180. Тоді: кут ВОА = 180 / 11. Таким чином, кут ВОА дорівнює 180/11 градусам. Тепер можна підставити значення куту ВОА в рівняння для знаходження куту ВАО: кут ВОА + кут ВАО = 90, 180/11 + кут ВАО = 90, кут ВАО = 90 - 180/11. Тоді, кут ВАО дорівнює 90 - 180/11 градусам. Отже, величина куту ВОА дорівнює 180/11 градусам, а величина куту ВАО дорівнює 90 - 180/11 градусам.