Question

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что углы С1А1В и САВ равны.

Answer 1

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1

и СС1. Докажите, что углы С1А1В и САВ равны.

Объяснение:

Точки А, С₁, А₁ , С лежат на окружности, т.к. два прямых угла опираются на отрезок АС , диаметр для окружности .(Как говорит cos стандартная конструкция для ортоцентра )

∠С₁А₁В=180°-∠С₁А₁С  как смежные ;

∠САВ=180°-∠С₁А₁С  по свойству углов вписанного 4-х угольника.

Левые части  в этих равенствах равны , значит и правые равны ∠С₁А₁В=∠САВ

Answer 2

Для доказательства равенства углов С1А1В и САВ в остроугольном треугольнике АВС, мы можем использовать свойства высот треугольника. Пусть углы С1А1В и САВ обозначены как α и β соответственно. Из свойств высот треугольника известно, что "высота, проведённая к какому-либо основанию, является перпендикуляром к этому основанию". Следовательно, АС1⊥С1А1 и СВ⊥АВ. Также, из свойств остроугольного треугольника известно, что "высота, опущенная из вершины, падает на противоположное основание внутри треугольника". Следовательно, С1А1 и СА - высоты, опущенные из вершины С. Теперь рассмотрим треугольники С1А1В и САВ. Угол Свп - это прямой угол, так как СВ⊥АВ. Угол С1А1С - это прямой угол, так как С1А1⊥АС1. Также, угол ВАС равен углу ВАС1+углу С1АС равными по 90 градусов каждый, так как СА - высота треугольника АВС. Из этих равенств следует, что угол С1А1В равен углу СВА. Таким образом, углы С1А1В и САВ равны.