Question

Дано: один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,а разность гипотенузы и меньшего катета равна 20. Найдите гипотенузу. (спасибо за ответ) ​

Answer 1

Вот пожалуйста ответ)))

Answer 2

Пусть один из катетов треугольника равен x. Тогда по теореме Пифагора имеем: \(x^2+(x+20)^2 = h^2\), где h - гипотенуза. Раскроем скобки: \(x^2+x^2+40x+400 = h^2\), Сократим на \(x^2\): \(2x^2 +40x +400 = h^2\), Выразим h^2: \(h^2 = 2x^2 +40x +400\). Так как у нас прямоугольный треугольник и один из углов равен 60° , то это значит, что два катета являются равными сторонами прямоугольного равнобедренного треугольника. Таким образом, x - это длина катета, а \(20 + x\) - это длина гипотенузы. Также из условия следует, что гипотенуза является наибольшей стороной треугольника, поэтому \(h^2\) наибольшее значение. Таким образом, для нахождения гипотенузы можем использовать квадратное неравенство: \(h^2 > 2x^2 +40x +400\). Решим это неравенство: \(20 + x > \sqrt{2x^2 +40x +400}\). Возведем в квадрат обе части: \(400 + 40x + x^2 > 2x^2 +40x +400\), Сократим на 40x и 400: \(x^2 - x^2 > 0\), x^2 > 0. Таким образом, для любого положительного значения x данное неравенство выполняется. Следовательно, разность гипотенузы и меньшего катета равна 20, а гипотенуза может принимать любые положительные значения.