Question

В треугольнике ТРК проведены медиана ТМ и высота ТН. Известно, что РК=128, НК=32 и угол РКТ=88. Найдите угол РМТ. Помогите, пожалуйста. Заранее огромное спасибо.

Answer 1

Так как РК - медиана, то МК=МР=128:2=64

NM=РК-МР-NK=128-64-32=32

Рассмотри треугольники ТNK и TNM - прямоугольные, так как ТN - высота. Они равные, потому что KN=NM, TN - общая сторона и угол прямой 90°. Они равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, TK=TM.

Треугольник TKM- равнобедренный, у которого углы при основании равны. То есть ∠NKT=∠NMT=88°.

∠TMN и ∠TMP смежные, сумма которых 180°.

∠PМT=180°-88°=92°.

Ответ: ∠PМT=92°.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике ТРК по теореме косинусов имеем: ТК² = РК² + РТ² - 2 * РК * РТ * cos(угол РКТ) Известные значения: РК = 128 РТ = ТК/2 (так как ТМ - медиана и делит ТК пополам) cos(угол РКТ) = cos(88°) Подставим эти значения в уравнение: ТК² = 128² + (ТК/2)² - 2 * 128 * (ТК/2) * cos(88°). Раскроем скобки и упростим выражение: ТК² = 128² + (ТК²/4) - 128 * ТК * cos(88°) ТК² - ТК²/4 = 128² - 128 * ТК * cos(88°) 3 * ТК²/4 = 128² - 128 * ТК * cos(88°) 3 * ТК² = 4 * (128² - 128 * ТК * cos(88°)) ТК² = 4 * (128² - 128 * ТК * cos(88°))/3 ТК² = (512² - 512 * ТК * cos(88°))/3 Заметим, что угол ТНК является прямым, а ТН - высота, значит, треугольник ТНК является прямоугольным. Тогда верно следующее соотношение: ТН² = ТК² + НК² Подставим значения в это соотношение: 32² = ТК² + (128/2)² 32² = ТК² + 64² ТК² = 32² - 64² ТК² = 1024 - 4096 ТК² = -3072 Мы получили отрицательное значение для ТК², что невозможно. Значит, данная система уравнений некорректна и не имеет решений.