Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AD равна 29, диагональ АС равна 20, отрезок, соединяющий середины сторон AD и AB, перпендикулярен AB, а отрезок, соединяющий середины сторон AD и BC, перпендикулярен BC. Найдите сторону CD.

Answer 1

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AD равна 29, диагональ АС равна 20, отрезок, соединяющий

Answer 2

Пусть точки M и N - середины сторон AD и AB соответственно, а точки P и Q - середины сторон AD и BC соответственно. Так как отрезок MP перпендикулярен AB, то треугольник AMP прямоугольный, и AM = MP/2. Аналогично, треугольник DNQ прямоугольный, и DN = NQ/2. Так как AM + DN = AD - сумма двух диагоналей, то MP/2 + NQ/2 = 29. Из этого следует, что MP + NQ = 58. Также из данного условия следует, что диагональ AC является высотой треугольника AMP, а диагональ BD является высотой треугольника DNQ. Пусть H1 и H2 - высоты треугольников AMP и DNQ соответственно. Так как треугольники AMP и DNQ подобны треугольнику ABC (по признаку полного угла), то H1/AC = 1/2 и H2/BD = 1/2. Из соотношений H1/AC = 1/2 и H2/BD = 1/2 следует, что H1 = AC/2 и H2 = BD/2. Так как AM + H1 + H2 = AC, то MP + AC/2 + BD/2 = 29. Аналогично, из данного условия AM + H1 + H2 = AC следует, что MP + AC/2 + BD/2 = 29. Следовательно MP + AC/2 + BD/2 = 29. Из данного условия следует, что треугольник AMP подобен треугольнику ABC (по признаку общего угла). То есть, AM/AB = MP/BC. Так как AM = MP/2, то MP/AB = MP/BC. Отсюда следует, что AB = BC. Так как MP + NQ = 58, то AB + BC = 58. Из условия AB = BC следует, что 2*AB = 58, AB = 29, BC = 29. Так как AB = 29, то AC = 2*H1 = 4*AM. Так как AM = 29/2, то AC = 4*(29/2) = 58. Так как сторона CD параллельна стороне AB, то треугольники CPQ и DQN подобны. Так как DQ = CP/2, то DQ/DP = DN/DM. Так как DN = NQ/2, то DQ/DP = (NQ/2)/DM = (NQ/2)/(MP/2) = NQ/MP. Так как DQ/DP = NQ/MP, то NQ/MP = DN/DM. Так как DN = 29/2 и DM = AM = 29/2, то NQ/MP = (29/2)/(29/2) = 1. Из NQ/MP = 1 следует, что NQ = MP. Так как MP + NQ = 58, то MP + MP = 58, 2*MP = 58, MP = 29. Так как NQ = MP = 29, то DC = CD = 2*NQ = 58. Таким образом, сторона CD равна 58.