Question

Около четырёхугольника BKPC описана окружность. Продолжения противоположных сторон BK и CP этого четырёхугольника пересекаются в точке A, лежащей вне окружности. K лежит между A и B, а P — между A и C. Найдите длину стороны KP, если AP=8 и AB больше BC в 5/4 раза.

Answer 1

Так как около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, то суммы противолежащих углов равны 180 °.
∠ СBA= α , тогда ∠ СDA= 180 ° – α .

Сумма смежных углов равна 180 °.
∠ CDA + ∠CDK = 180 ° 
∠ CDK= α 

∠ CKD – общий для двух треугольников.
Треугольники КАВ и КСD подобны по двум углам.

я не очень шарю в этом из 5 % я шарю 3%.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами окружностей и строим дополнительные построения. Обозначим центр описанной окружности как O, а радиус как R. Так как точка A лежит вне окружности, то OA = R. Также обозначим точку пересечения продолжения сторон BK и CP как M. Поскольку BM и CM - продолжения противоположных сторон BК и СР соответственно, то точка М должна лежать на окружности, а значит, OM = R. Так как точка К лежит между А и В, а точка Р - между А и С, то АК и АР являются внутренними биссектрисами треугольников АВК и АСР. Рассмотрим треугольник AKM. Поскольку АК является биссектрисой угла B, то угол АКМ равен углу В/2. Аналогично, так как АР является биссектрисой угла C, то угол АМР равен углу С/2. Так как углы внутри треугольника должны в сумме давать 180 градусов, то угол М равен 180 - (В/2 + С/2) = 180 - (В + С) / 2. Таким образом, так как угол М равен АОМ, то АОМ = 360 - 2 * М = 360 - 2 * (180 - (В + С) / 2) = В + С. Так как АОМ - угловая величина, то угол МОК = 180 - (АОМ / 2) = 180 - ((В + С) / 2). Так как радиус окружности = R = KM = ПОДставим найденные значения в полученную формулу. (В + С) / 2 = 180 - 2 * (В + С) / 2. (В + С) = 2 * (180 - (В + С) / 2). (В + С) = 360 - В - С. 2 * (В + С) = 360. В + С = 180. В и С в сумме дают 180, поскольку треугольник ВЦК является прямоугольным. Так как AB > ВС в 5/4 раза, значит AB = 5/4 * ВС. Рассмотрим треугольники BCА и BCМ. Так как АОМ = 180 - В - С, то такой же угол имеет и у треугольника ВСК. Обозначим угол BCМ как X. Также обозначим угол ВАС как Y. Тогда 180 - В - С = (540 - X) - (540 - Y - X). 180 - В - С = В - (540 - 540 + X + Y). 180 - В - С = В - (X + Y). Отсюда В - 180 = В - (X + Y) - С. Исключим В: 180 = X + Y - С. Так как треугольник BCА прямоугольный, то X + Y = 90. Значит, 180 = 90 - С. С = -90. Так как В + С = 180, то В -90 + С = 180. Тогда В = 180 + 90 - С = 270. Так как треугольник прямоугольный, а углы между 0 и 90 градусов, треугольник невозможен. Таким образом, что-то не так с условием задачи, и решение не имеет смысла. Ответом будет утверждение, что длина стороны KP не может быть найдена, поскольку информация в условии задачи некорректна.