Question

Записать каноническое уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей: x – 2y + 3z – 4 = 0 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для записи канонического уравнения прямой, являющейся линией пересечения плоскостей, необходимо найти направляющий вектор этой прямой. Направляющий вектор можно найти путем нахождения векторного произведения нормалей плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости: A₁ = (1, -2, 3) Нормальный вектор второй плоскости: A₂ = (3, 2, -5) Направляющий вектор прямой: n = A₁ × A₂ Вычислим векторное произведение: n = (1, -2, 3) × (3, 2, -5) = (4, 14, 8) Теперь имея направляющий вектор и фиксируя одну из точек прямой, которая лежит на пересечении плоскостей, можно записать каноническое уравнение прямой. Пусть точка A(0, 0, 1) лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид: x - x₁ y - y₁ z - z₁ ------- = ------- = ------ a₁ b₁ c₁ где (x, y, z) - точка на прямой, (x₁, y₁, z₁) - точка A, (a₁, b₁, c₁) - направляющий вектор. Подставляем значения и получаем: x - 0 y - 0 z - 1 ------- = ------- = ------- 4 14 8 Упрощаем: x/4 = y/14 = z/8 Таким образом, каноническое уравнение прямой, которая является линией пересечения плоскостей, заданных уравнениями x – 2y + 3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0, будет иметь вид: x/4 = y/14 = z/8