Question

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая l касается первой окружности в точке В, а второй – в точке С. А) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2

Answer 1

Из центров окружностей  и  точки А проведем  перпендикуляры  к прямой ВС
отрезок общей внешней касательной к 2 окружностям равен 2VRr=2V16=8
обозначим   точку пересечения перпендикуляра из т А с ВС точкой К  ВК=КА=КС по свойству касательных проведенных из одной точки
треугольникиВАК и КАС равнгобедренные и прямоугольные  ВА=АС=√16+16=4√2
ВС гипотенуза =√32+32=8 значит треугольник АВС прямоугольный 
S=4√2x4√2/2=16ед²

Answer 2

А) Чтобы доказать, что треугольник АВС является прямоугольным, нам нужно показать, что угол между прямыми AB и AC равен 90 градусов.

Заметим, что радиус окружности ортогонален касательной прямой в точке касания. Поэтому в точке А (точке касания окружностей) радиусы первой и второй окружностей будут перпендикулярны прямым AB и AC соответственно.

Пусть O1 и O2 - центры первой и второй окружностей соответственно. Поскольку AB и AC - касательные к окружностям, то они будут проходить через точки касания и центры окружностей. То есть, AB и AC являются радиусами окружностей, поэтому угол O1AO2 будет прямым углом.

Таким образом, угол между AB и AC равен 90 градусов, что означает, что треугольник АВС является прямоугольным.

Б) Чтобы найти площадь треугольника АВС, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

Площадь = 1/2 * основание * высота.

Основание треугольника - отрезок AB, а высоту можно взять, например, отрезок AD, где D - точка пересечения радиуса в точке A с прямой BC.

Для нахождения площади треугольника, нам необходимо знать длину основания и высоту. Длина основания AB равна разности радиуса первой окружности и радиуса второй окружности: AB = 8 - 2 = 6.

Для нахождения высоты, заметим, что треугольники ABD и ACD подобны (по одной стороне AB и AC, а также углу BAD и DAC, так как это вертикальные углы).

Поэтому длина отрезка AD будет пропорциональна длине отрезка AC (второго радиуса): AD/BD = AC/CD.

Мы знаем, что BD = AB = 6, CD = 2 (второй радиус). Заменяем в формуле: AD/6 = AC/2.

Решая уравнение, находим AD = 18.

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

Площадь = 1/2 * AB * AD = 1/2 * 6 * 18 = 54 квадратных единиц.