Question

Угол основания равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ равна 9 см. Найдите диаметр окружности вписанной трапеции

Answer 1

Трапеция ABCD - усеченный равносторонний треугольник.

Центр его вписанной окружности - точка пересечения биссектрис/высот/медиан.

Пусть основание 3. Тогда высота треугольника 3√3/2.

Диаметр вписанной окружности =2/3 высоты треугольника =√3

Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции, CH=√3

Понятно, что AH=2 и по т Пифагора AC=√7

CH/√3=AC/√7 => CH=9√3/√7 (см)

Answer 2

Для начала построим равнобедренную трапецию:

Пусть основаниями трапеции будут отрезки AB и CD, а сторонами BC и AD.

Так как угол основания равнобедренной трапеции равен 60°, то угол CAB также равен 60°.

Найдем длину отрезка BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол в вершине треугольника равен 60°, а гипотенуза равна 9 см (длина диагонали).

Используя тригонометрию, найдем длину стороны BC. Так как тангенс угла CAB равен отношению противолежащего катета к прилежащему, получаем:

тан(60°) = BC/AB
√3 = BC/AB

Воспользуемся тем, что трапеция равнобедренная, то есть AB = CD. Поэтому:

√3 = BC/AB = BC/CD

Теперь найдем диаметр окружности, вписанной в трапецию.

Диаметр окружности вписанной в трапецию равняется сумме длин оснований, деленной на разность сторон:

d = (AB + CD) / (BC - AD)

Таким образом, диаметр окружности вписанной трапеции равен:

d = (AB + CD) / (BC - AD) = (AB + AB) / (BC - AD) = 2AB / (BC - AD)

Используя полученное выражение для диаметра и соотношение √3 = BC/CD, можем подставить значения и получить окончательный ответ.