Question

В треугольнике длины двух сторон равны 4 и 5, а длина биссектрисы угла между ними равна 20/9. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
Пусть длины двух отрезков противоположной стороны - 5x и 4x
Угол, который делит биссектриса - β.
Тогда по теореме косинусов для двух дочерних треугольников
(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)
(4x)² = 4² + (20/9)² - 2*4*20/9*cos(β/2)
----
Умножим первое уравнение на 4, второе на 5
4*(5x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)
5*(4x)² = 5*4² + 5*(20/9)² - 2*4*5*20/9*cos(β/2)
---
Вычтем из первого второе
4*(5x)² - 5*(4x)² = 4*5² + 4*(20/9)² - 5*4² - 5*(20/9)²
4*25x² - 5*16x² = 4*25 - 5*16 - 400/81
100x² - 80x² = 100 - 80 - 400/81
20x² = 20 - 400/81
сократим на 20
x² = 1 - 20/81 = (81 - 20)/81 = 61/81
x = √61/9 (отрицательный корень отбросили)
---
Теперь вычислим угол
(5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2)
25*61/81 = 25 + 400/81 - 200/9*cos(β/2)
Умножим всё на 81
25*61 = 25*81 + 400 - 9*200*cos(β/2)
1800*cos(β/2) = 400 + 25*(81 - 61)
1800*cos(β/2) = 400 + 25*20 
1800*cos(β/2) = 900
cos(β/2) = 1/2
β/2 = arccos(1/2) = 60°
β = 120°
Площадь
S = 1/2*4*5*sin(β) = 10*sin(120°) = 5√3

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу для площади треугольника через длины сторон и биссектрису угла. Формула выглядит следующим образом:

Площадь треугольника (S) = (2 * b * a * sin(θ/2)) / 2,

где: - b - длина одной из сторон треугольника, - a - длина второй стороны треугольника, - θ - угол между этими сторонами (в данном случае, угол между сторонами 4 и 5), - sin(θ/2) - синус половины угла θ.

В данной задаче у нас даны длины двух сторон треугольника (4 и 5) и длина биссектрисы угла (20/9). Давайте найдем угол θ:

Сначала используем закон косинусов для нахождения угла θ:

c² = a² + b² - 2ab * cos(θ),

где: - c - длина биссектрисы, - a и b - длины сторон треугольника.

Подставляем известные значения:

(20/9)² = 4² + 5² - 2 * 4 * 5 * cos(θ).

Выразим cos(θ):

cos(θ) = (4² + 5² - (20/9)²) / (2 * 4 * 5).

cos(θ) = (16 + 25 - 400/81) / (40).

cos(θ) = (41 - 400/81) / 40.

cos(θ) = (41 * 81 - 400) / (40 * 81).

cos(θ) = (3321 - 400) / 3240.

cos(θ) = 2921 / 3240.

Теперь найдем sin(θ) с помощью тригонометрической идентичности:

sin(θ) = √(1 - cos²(θ)).

sin(θ) = √(1 - (2921/3240)²).

sin(θ) ≈ √(1 - 0.260073).

sin(θ) ≈ √0.739927.

sin(θ) ≈ 0.859081.

Теперь у нас есть значения a, b и sin(θ), и мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:

S = (2 * b * a * sin(θ/2)) / 2.

S = (2 * 5 * 4 * (0.859081/2)) / 2.

S = 40 * 0.859081 / 2.

S ≈ 34.36324 / 2.

S ≈ 17.18162.

Площадь этого треугольника составляет приблизительно 17.18162 квадратных единиц.