Question

Прямі, яким належать сторони ромба з кутом 150градусів, дотикаються до сфери діаметра 20см. Знайти периметр і площу ромба, якщо відстань від центра сфери до площини ромба дорівнює 8см.

Answer 1

Проведём плоскость перпендикулярную плоскости ромба через центр сферы. На ней след плоскости ромба будет хордой окружности радиуса R, где R=10-радиус сферы. Для ромба хорда является диаметром вписанной окружности равным 2r. Проведём  из центра сферы радиус в точку  касания хорды, и перпендикуляр к хорде h=8. Тогда по теореме Пифагора r=корень из(R квадрат -h квадрат)=корень из(100-64)=6. По известным формулам площадь ромба равна S=4( r квадрат)/sin 150= 4* 36*/0,5=288.  Площадь также можно выразить через радиус вписанной окружности S=2а*r. Отсюда сторона ромба а=S/2r=288/2*6=24. Периметр=96.

Answer 2

Спершу давайте знайдемо сторони ромба, які дотикаються до сфери.

1. Ми знаємо, що кут між прямими, що дотикаються до сфери, становить 150 градусів. Оскільки сфера має центр, і промінь, який йде від центру сфери до точки дотику, є радіусом сфери, то кут між радіусом і прямою, яка дотикається до сфери, є прямим кутом. Таким чином, кут між двома прямими, які дотикаються до сфери, складається з двох частин - 90 градусів (прямий кут) і 60 градусів (залишковий кут).

2. Тепер ми можемо взяти правильний трикутник із цим кутом 60 градусів. Радіус сфери (R) є гіпотенузою цього трикутника. Ми також знаємо відстань від центра сфери до площини ромба, яка дорівнює 8 см. Ця відстань є прилеглою стороною до кута 60 градусів.

3. Використовуючи тригонометричні відношення, ми можемо знайти сторони ромба. Для цього використаємо тригонометричну функцію синуса:

sin(60°) = Протилегла сторона / Гіпотенуза (R).

sin(60°) = 8 см / R.

R = 8 см / sin(60°). R ≈ 8 см / 0.866 ≈ 9.24 см.

4. Оскільки ромб має чотири однакові сторони і всі кути ромба рівні 90 градусів (оскільки він прямокутний), то довжина сторони ромба дорівнює R, тобто близько 9.24 см.

Тепер, коли ми знайшли сторону ромба, давайте знайдемо його периметр і площу.

Периметр ромба: П = 4 * сторона П = 4 * 9.24 см = 36.96 см

Площа ромба: Для обчислення площі ромба можна використовувати формулу: S = (діагональ1 * діагональ2) / 2

Оскільки ромб прямокутний, його діагоналі будуть перпендикулярними бісектрисами одна одної і поділять ромб на чотири прямокутних трикутники. Половини діагоналей ромба будуть рівні половині діаметра сфери, тобто 10 см.

S = (10 см * 10 см) / 2 = 100 см² / 2 = 50 см²

Отже, периметр ромба дорівнює приблизно 36.96 см, а площа ромба дорівнює приблизно 50 квадратних сантиметрів.