Question

Доказать лемму о пересечении биссектрисы угла треугольни- ка с описанной около треугольника окружностью: «Биссектриса угла ABC треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке S. Точка O1- центр вписанной окружности. Доказать, что SA = SC = SO . т. е. что точка S есть центр окружности, про- 1 ходящей через точки A, C и центр O1 вписанной окружностИ – Рассмотрите углы треугольника AOC пристороне OC.)

Answer 1

Если моё решение оказалось полезным, смело отмечайте его как «лучший ответ».

Answer 2

Доказательство данной леммы можно провести следующим образом:

1. Обозначим угол BAC треугольника ABC как α. 2. Так как точка S лежит на биссектрисе угла ABC, то угол CBS также равен α/2. 3. Опишем окружность с центром O через точки A, B и S. По свойству описанной окружности углы в окружности, образованные хордами, равны половине соответствующих центральных углов. 4. Рассмотрим угол BSO в данной окружности. Он равен α/2, так как образован хордой BS и углом BCS, равным α. 5. Также рассмотрим угол BAO. Он равен α/2, так как является центральным углом, опирающимся на дугу BS окружности, равную углу BSO. 6. Заметим, что углы BAO и BSO равны друг другу, что означает, что точка S лежит на луче AO, продолжении биссектрисы угла BAC. 7. Аналогичными рассуждениями можно показать, что точка S лежит на продолжении биссектрисы угла BCA. 8. Таким образом, получаем, что точка S является центром окружности, проходящей через точки A, C и центр вписанной окружности O₁. 9. Так как SA и SC радиусы этой окружности, и центр окружности совпадает с центром окружности O₁, то получаем, что SA = SC = SO₁.

Таким образом, доказано, что точка S является центром окружности, проходящей через точки A, C и центр вписанной окружности O₁, и что SA = SC = SO₁.