Question

Диагональ AC параллелограмма ABCD служит диаметром окружности,которая пересекает стороны AD и CD в точках E и F соответственно.Найти площадь параллелограмма, если известно,что AE:ED=2:7,CF=9см, DF=12см

Answer 1

Диагональ делит параллелограмм пополам. Рассмотрим треугольник ACD.

∠AFC, ∠AEC - вписанные углы, опирающиеся на диаметр - прямые. E, F - основания высот треугольника ACD. Отрезок, соединяющий основания высот треугольника, отсекает подобный треугольник, △FED~△ACD.

ED/CD = FD/AD <=> 7x/21 = 12/9x <=> x=2

AD=9x=18

AF=√(AD^2 -FD^2) =√(18^2 -12^2) =√(6*30) =6√5

S(ACD)= CD*AF/2 =21*6√5/2 =63√5

S(ABCD)= 2S(ACD) =126√5

Answer 2

Давайте сначала определим, что мы знаем о параллелограмме ABCD и окружности, описанной вокруг него.

Поскольку диагональ AC служит диаметром окружности, она делит её на две хорды. Следовательно, мы можем использовать свойство пересекающихся хорд, чтобы найти отношение длин отрезков AE и ED.

Сначала найдем длину диагонали AC, используя теорему Пифагора для треугольника ACD:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$.

Поскольку AC является диаметром окружности, длина диагонали AC равна диаметру окружности.

Затем мы можем использовать отношение длин AE и ED, чтобы найти их конкретные длины.

Площадь параллелограмма ABCD равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. Мы можем найти высоту, используя формулу для площади треугольника, образованного диагональю AC и стороной BC, и затем умножить её на длину стороны BC.

Давайте начнем с расчетов.

1. Найдем длину диагонали AC: $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(\text{длина стороны AD})^2 + (\text{длина стороны CD})^2}$

2. Зная длину диагонали AC, мы можем найти длины отрезков AE и ED: Пусть $AE = 2x$ и $ED = 7x$, тогда $AC = AE + ED = 2x + 7x = 9x$.

3. Выразим x через известные данные: $AC = 9x = \text{длина диагонали AC, которая была найдена ранее}$.

4. Найдем площадь треугольника ACD: $\text{Площадь треугольника ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CD$.

5. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны BC на высоту, опущенную на сторону BC. Высоту можно найти, используя площадь треугольника ACD и длину стороны BC.