Question

В пирамиде PABC ребро PB перпендикулярно плоскости ABC. Основанием пирамиды является треугольник, в котором угол C=90 градусов, AC=BC=8. Точка М лежит на ребре АР, причем AM:МР = 3:1. Найдите расстояние от точки М до плоскости РВС.

Answer 1

Пусть PH –высота треугольной пирамиды PABC, ABC – прямоугольный треугольник, в котором C = 90o, AC = BC = 8 . Поскольку PH – перпендикуляр к плоскости ABC, отрезки AH, BH и CH – проекции наклонных AP, BP и CP на плоскость ABC . По условию
AP = BP = CP = 9.

Прямоугольные треугольники DAH, DBH и DCH равны по катету и гипотенузе, поэтому AH = BH = CH и H – центр окружности, описанной около треугольника ABC, а т. к. этот треугольник прямоугольный, то H – середина гипотенузы AB . Далее находим:
PH = корень квадратный из 44+5 = 7.


MABCp = SΔ ABC· pH = CP · BC· AC· DH =
= 8·2= 16

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки M до плоскости PBC, мы можем воспользоваться принципом подобия треугольников и используя соответствующие отношения сторон и высоты.

Давайте обозначим следующие величины:

• Длина AM: x
• Длина MR: 1/3x (так как AM:MR = 3:1)
• Высота пирамиды PABC из точки P до плоскости ABC: h

Теперь давайте рассмотрим треугольники PBC и AMR. Они подобны, так как угол BPC прямой (из условия C=90 градусов), и угол AMR равен углу BPC (из условия перпендикулярности PB к плоскости ABC).

Из подобия треугольников PBC и AMR мы можем написать следующее отношение сторон:

(PB / BC) = (AM / MR)

(8 / 8) = (x / (1/3x))

Это упрощается до:

1 = (x / (1/3x))

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x:

1 = 3

Таким образом, x = 3.

Теперь, когда мы знаем длину AM, мы можем найти расстояние от точки M до плоскости PBC, используя подобие треугольников. Расстояние h от точки M до плоскости PBC можно найти как:

h = (1/3x) * h

h = (1/3 * 3) * h

h = h

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости PBC равно высоте пирамиды PABC, которая не зависит от положения точки M на ребре AR.