Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса bm, и высота bn, при чем m принадлежит ac и n принадлежит ac, длины отрезков am=8, MN=1, NC=3. Найдите квадрат высоты bn

Answer 1

Сделаем риснок. 
Биссектриса делит сторону, противолежащую углу, который делит, в отношении прилежащих к этому углу сторон. 

Пусть коэффициент этого отношения будет х.
тогда АВ=8х,
ВС=НСх+МNх=4х
Выразим квадрат высоты ВN из прямоугольных треугольников, на которые она делит ∆ АВС. 
Из Δ АВN
BN²=АВ²-AN²
Из ∆ BNC
BN²=BC²-NC² ; приравняем эти значения, т.к. они выражают одну и ту же величину. 
AB²-AN²=BC²-NC²
АN=AM+MN=9
64х²-81=16х²-9
48х²=72
х²=1,5
Из ∆ ВNC
BN²=16*1,5-9=15
Ответ:BN²=15

Answer 2

Для начала, давайте обозначим следующие длины в треугольнике ABC:

1. Длина отрезка AM: AM = 8.
2. Длина отрезка MN: MN = 1.
3. Длина отрезка NC: NC = 3.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник AMN. В этом треугольнике у нас есть биссектриса BM и высота BN. Так как биссектриса делит противоположную сторону (BC) в отношении длин боковых сторон (AB и AC), то мы можем использовать свойство биссектрисы и определить длину BN:

BN = (AC * AB) / (AB + AC)

Зная длины AB и AC, мы можем вычислить длину BN:

AB = AM + MN = 8 + 1 = 9 AC = NC + NC = 3 + 3 = 6

Теперь мы можем вычислить BN:

BN = (6 * 9) / (9 + 6) = (54) / (15) = 3.6

Теперь, чтобы найти квадрат высоты BN, просто возведем длину BN в квадрат:

(BN)^2 = (3.6)^2 = 12.96

Ответ: Квадрат высоты BN равен 12.96.