Question

3. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a и b проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции.

Answer 1

Пусть в трапеции АВСД основания ВС=а, АД=в, АС и ВД - диагонали, О - точка их пересечения, ВН - высота трапеции, М - точка пересечения высоты ВН и искомого отрезка КЛ. 
По условию КЛ параллельна ВС, следовательно ΔАВД подобен ΔКВО, а ΔАВС подобен ΔАКО. Т.к. в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то КО/АД=ВМ/ВН, КО/ВС=МН/ВН.
Отсюда КО/АД+КО/ВС=ВМ/ВН+МН/ВН
КО*(ВС+АД)/АД*ВС=(ВМ+МН)/ВН, 
т.к. ВМ+МН=ВН, то
КО*(а+в)/ав=1
КО=ав/(а+в)
Аналогично, из подобия ΔДОЛ и ΔДВС, а также Δ ОСЛ и ΔАСД, находим ОЛ:
ОЛ=ав/(а+в)
КЛ=КО+КЛ=ав/(а+в)+ав/(а+в)=2ав/(а+в)

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу более подробно.

У нас есть трапеция с основаниями a и b, и диагоналями, которые пересекаются в одной точке. Мы хотим найти отрезок прямой, проведенной через точку пересечения диагоналей, который параллелен основаниям трапеции и заключен между боковыми сторонами.

Пусть точка пересечения диагоналей обозначается как O. Также давайте обозначим вершины трапеции как A, B, C и D, где AB - основание a, а CD - основание b. Также предположим, что отрезок, который мы хотим найти, пересекает боковые стороны трапеции в точках E и F, причем E лежит на боковой стороне AD, а F лежит на боковой стороне BC.

Сначала мы замечаем, что точка O делит диагонали пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.

Также мы видим, что треугольники AEO и CFO подобны, так как угол AEO равен углу CFO (оба равны углу, образованному пересекающей прямой и основанием трапеции), и углы AEO и CFO являются вертикальными углами. Поэтому отношение длины AE к длине CF равно отношению длины AO к CO, то есть:

AE / CF = AO / CO

Теперь, так как AO = CO и BO = OD, мы имеем:

AE / CF = 1

Следовательно, AE = CF. Это означает, что отрезок прямой, который мы искали, равен длине сегмента между боковыми сторонами трапеции, и он делится точкой O пополам.

Итак, отрезок прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции и параллельный ее основаниям, равен половине длины отрезка, соединяющего точку O с точкой пересечения оснований AB и CD.