Question

Даны точки А(-2; 1; 2), В(-6; 3; -2) на оси аппликат. Найти точку С, равноудалённую от точек А и В.

Answer 1

Решение в скане......................

Answer 2

Давай воспользуемся свойством равноудаленности точки С от точек А и В. Поскольку мы ищем точку на оси аппликат, координаты точки С будут иметь вид (x; x; z), где x - аппликат, а z - ордината.

Расстояние между точками A и C должно быть равно расстоянию между точками B и C. Используем формулу расстояния между двуми точками в трехмерном пространстве:

$AC = BC$

$\sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 } = \sqrt{ (x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 + (z_3 - z_1)^2 }$

Где точки A(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), и C(x; x; z). Подставим координаты и решим уравнение:

$\sqrt{ (-6 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 + ((-2) - 2)^2 } = \sqrt{ (x - (-2))^2 + (x - 1)^2 + (z - 2)^2 }$

$\sqrt{ 16 + 4 + 16 } = \sqrt{ (x + 2)^2 + (x - 1)^2 + (z - 2)^2 }$

$\sqrt{ 36 } = \sqrt{ x^2 + 4x + 4 + x^2 - 2x + 1 + z^2 - 4z + 4 }$

$6 = \sqrt{ 2x^2 + 2x + z^2 - 2z + 9 }$

$36 = 2x^2 + 2x + z^2 - 2z + 9$

$2x^2 + 2x + z^2 - 2z - 27 = 0$

Это уравнение задает плоскость точек, равноудаленных от A и B. Теперь можем решить его, учтя, что координаты x и z должны быть одинаковыми:

$2x^2 + 2x + x^2 - 2x - 27 = 0$

$3x^2 - 27 = 0$

$x^2 - 9 = 0$

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 3 и x = -3. Поскольку мы ищем точку на оси аппликат, то x не может быть отрицательным, и мы выбираем x = 3.

Таким образом, координаты точки C равны (3; 3; z). Теперь подставим x = 3 в уравнение плоскости:

$2(3)^2 + 2(3) + z^2 - 2z - 27 = 0$

$18 + 6 + z^2 - 2z - 27 = 0$

$z^2 - 2z - 3 = 0$

$(z - 3)(z + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для z: z = 3 и z = -1. Поскольку z не может быть отрицательным (ведь это ордината), мы выбираем z = 3.

Итак, координаты точки C равны (3; 3; 3).