Question

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AN и CK. 1) докажите что отрезок KN параллелен стороне АС 2) докажите справедливость равенств АК=KN=NC.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Рассмотрим треугольники △ABN и △CBK. У них АВ=ВС т.к. △АВС - р/б, ∠BAN=∠BCK, поскольку AN и CK - биссектрисы равных углов ∠А и ∠С р/б тр-ка. ∠В - общий => △ABN=△CBK по 2му признаку.

=> BN=BK => △KBN - р/б и ∠BKN=∠BNK, а поскольку ∠В - общий для равнобедернных тр-ков △АВС и △KBN, то углы и при их основания также равны между собой. То есть ∠BKN=∠A, а это соответственные углы при прямых АС и KN => AC || KN чтд.

2) AC || KN => ∠CKN=∠ACK как накрест лежащие. При этом ∠ACK=∠NCK => ∠CKN=∠NCK, а значит △CNK - р/б и KN=NC.

Аналогичным образом, AK=KN, следовательно АК=KN=NC чтд.

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения:

1. Чтобы доказать, что отрезок KN параллелен стороне AC, рассмотрим треугольники AKC и ANB. Мы знаем, что AB = BC (так как треугольник ABC - равнобедренный), и AN = NC (так как AN и NC - биссектрисы треугольника ABC). Кроме того, угол AKC равен углу ANB, так как они оба равны половине угла ACB (из-за биссектрис).

Теперь у нас есть два треугольника с равными сторонами и равными углами между ними, поэтому треугольники AKC и ANB подобны. Из свойств подобных треугольников следует, что отрезок KN параллелен стороне AC.

2. Теперь докажем, что AK = KN = NC. Мы уже установили, что треугольники AKC и ANB подобны. Таким образом, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Это означает, что:

AK / AN = KC / NB.

Но мы также знаем, что AN = NC (по определению биссектрисы), поэтому мы можем заменить AN на NC в уравнении:

AK / NC = KC / NB.

Теперь у нас есть равенство сторон:

AK / NC = KC / NB.

Так как KN = KC - NC (по построению), мы можем записать:

AK / NC = KN / NC.

Теперь, если мы умножим обе стороны на NC, получим:

AK = KN.

Из предыдущего равенства AK / NC = KN / NC также следует:

AK = KN = NC.

Таким образом, мы доказали, что AK = KN = NC, что завершает доказательство.