Question

В треугольнике ABC продолжения медиан из вершин B и C пересекают описанную окружность в точках B₁ и C₁ соответственно. На стороне AB выбрана точка X, а на стороне AC − точка Y так, что BX=2AX, CY=2AY. Докажите, что ∠BXC₁ =∠CYB₁.

Answer 1

D - центроид; E, F - основания медиан

CD/DF =CY/AY =2/1 => YD||AB (теорема о пропорциональных отрезках)

∠AB₁B=∠ACB (опираются на одну дугу)

∠AEB₁=∠BEC (вертикальные)

△AEB₁~△BEC (по двум углам), AE/BE=B₁E/CE

YD||AB => AE/BE=YE/DE => YE/DE=B₁E/CE

△YEB₁~△DEC (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), ∠EDC =∠EYB₁=∠CYB₁

Аналогично ∠FDB=∠BXC₁

∠EDC=∠FDB (вертикальные) => ∠CYB₁=∠BXC₁

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую ситуацию и докажем, что угол BXC₁ равен углу CYB₁.

1. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC.

2. Так как B₁ и C₁ - точки пересечения медиан с окружностью, то они являются серединными точками соответствующих дуг: B₁ - середина дуги AC, а C₁ - середина дуги AB.

3. Рассмотрим треугольники ABO и ACO. Они равны по двум сторонам (AO общая и радиусы окружности), и угол ABO равен углу ACO, так как это уголы при основании равнобедренных треугольников.

4. Так как BX = 2AX, то точка X делит сторону AB на отношение 1:2, следовательно, точка X - это середина отрезка BO.

5. Аналогично, точка Y делит сторону AC на отношение 1:2, и она является серединой отрезка CO.

6. Теперь мы видим, что угол BXC₁ - это угол между лучами BX и C₁X, а угол CYB₁ - это угол между лучами CY и B₁Y.

7. Поскольку B₁ и C₁ являются серединами соответствующих дуг, углы B₁AC и C₁AB являются прямыми углами, так как они опираются на радиусы окружности.

8. Теперь у нас есть два вертикальных угла (углы BXC₁ и CYB₁), а также два прямых угла (углы B₁AC и C₁AB). Это говорит нам о том, что угол BXC₁ и угол CYB₁ равны между собой, так как они оба составляют половину от прямого угла.

Таким образом, мы доказали, что ∠BXC₁ равен ∠CYB₁.