Question

У прямокутній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута, а її довжина вдвічі більша за меншу бічну сторону. Знайдіть кути трапеції. ​

Answer 1

Відповідь:

90°, 90°, 120°, 60°

Пояснення:

Розглянемо ΔКМТ - прямокутний, МТ=2КМ за умовою, отже ∠КТМ=30°;  

∠РТМ=∠КТМ=30° за визначенням бісектриси;  ∠КТР=30+30=60°

∠РМТ=∠КТМ=30° як внутрішні різносторонні при МР║КТ та січній МТ,  отже  ∠Р=180-30-30=120°.

Answer 2

Позначимо більшу бічну сторону трапеції через $a$. Оскільки діагональ є бісектрисою гострого кута, то вона розділяє трапецію на два прямокутних трикутники. Позначимо меншу бічну сторону через $b$.

За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників:

1. Для першого прямокутного трикутника, з гіпотенузою $a$ і однією катетою $b$, отримаємо:

$a^2 = b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ $a^2 = b^2 + \frac{a^2}{4}$ $\frac{3}{4}a^2 = b^2$ $b = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

2. Для другого прямокутного трикутника, з гіпотенузою $a$ і однією катетою $\frac{a}{2}$, отримаємо:

$a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2$ $a^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3}{4}a^2$ $\frac{5}{4}a^2 = b^2$ $b = \frac{\sqrt{5}}{2}a$

За умовою задачі, $a$ вдвічі більше за $b$:

$a = 2b$

Підставимо значення $b$ з обох рівнянь, щоб знайти величину $a$:

$2b = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ $2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a = \frac{\sqrt{5}}{2}a$

Розв'язавши ці рівняння, отримаємо:

$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ $\sqrt{3}a = \sqrt{5}a$ $\sqrt{3} = \sqrt{5}$

Отримане рівняння неправильне, тому задача не має розв'язку з цими параметрами. Щось пішло не так у процесі розв'язання. Перевірте рівняння та забезпечте правильність умови задачі.