Question

Доведіть що трикутник з вершинами в точках A(5;0;7) B(0;3;-1) C(7;3;1) гострокутний

Answer 1

АВ = √((0-5)²+(3-0)²+(-1-7)²) = √(25+9+64) = √98.

АС = √((7-5)²+(3-0)²+(1-7)²) = √(4+9+36) = √49 = 7.

ВС = √((7-0)²+(3-3)²+(1-(-1))²) = √(49+0+4) = √53.

Отсюда можно делать вывод: если квадрат одной стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то угол острый (на основе теоремы косинусов).

У нас квадраты сторон равны 98, 49 и 53, поэтому заданный треугольник - остроугольный.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC является остроугольным, нужно проверить, что все его углы острые.

Для этого воспользуемся формулой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами его углов.

Формула косинусов: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Где A, B, C - углы треугольника, a, b, c - длины его сторон.

Вычислим длины сторон треугольника ABC: AB = √((0 - 5)^2 + (3 - 0)^2 + (-1 - 7)^2) = √(25 + 9 + 64) = √98 BC = √((7 - 0)^2 + (3 - 3)^2 + (1 - (-1))^2) = √(49 + 0 + 4) = √53 AC = √((7 - 5)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 7)^2) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7

Подставим значения в формулу косинусов для кажд