Question

из внутренней точки О треугольника ABC-проведены прямые,параллельные сторонам AB и BC.Эти прямые пересекают сторону AC в точках P и Q соответственно.Найдите прощадь треугольника POQ,если PQ=2,AC=1 и площадь треугольника ABC равна 98

Answer 1

Пусть условие: "Из внутренней точки О треугольника ABC  проведены прямые, параллельные сторонам AB и BC. Эти прямые пересекают сторону AC в точках P и Q соответственно. Найдите площадь треугольника POQ, если PQ=1, AC=2 и площадь треугольника ABC равна 98".  Тогда решение:

Соответственные стороны треугольников POQ и ABC параллельны, следовательно, углы треугольников, образованные этими сторонами,  равны. Значит треугольники подобны с коэффициентом подобия k = PQ/AC = 1/2.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат подобия, то есть Spoq/Sabc = 1/4  => Spoq = 98/4 = 24,5 ед².

Ответ: Spoq = 24,5 ед².

Если же PQ =2, а АС = 7, то k = 2/7 и  соответственно

Spoq = 98*4/49 = 8 ед².

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться подобием треугольников и свойством параллельных линий.

Обозначим $x$ длину отрезка $AP$, тогда отрезок $AQ$ также будет иметь длину $x$, потому что $PQ = 2$.

Из подобия треугольников $ABC$ и $APQ$ мы можем написать следующее соотношение:

$$\frac{AP}{AC} = \frac{PQ}{BC}$$

Подставляя известные значения, получаем:

$$\frac{x}{1} = \frac{2}{BC}$$

Так как площадь треугольника $ABC$ равна 98, мы можем найти длину стороны $BC$ используя формулу для площади треугольника:

$$\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

$$98 = \frac{1}{2} \times 1 \times BC$$

Отсюда $BC = 196$.

Теперь мы можем найти длину отрезков $AP$ и $AQ$:

$$x = \frac{2}{BC} = \frac{2}{196} = \frac{1}{98}$$

Площадь треугольника $POQ$ можно найти используя ту же самую формулу для площади треугольника:

$$\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$$

В данном случае, основание $PQ = 2$ и высота $h$ равна расстоянию между параллельными прямыми $PQ$, $h = \frac{1}{98}$.

Площадь треугольника $POQ$ равна:

$$\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{98} = \frac{1}{98}$$

Таким образом, площадь треугольника $POQ$ равна $\frac{1}{98}$ или приближенно $0.0102$.