Question

окружность вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB,BC и AC в точках K,M и E соответственно AK=BM=CE. Докажите что треугольник ABC- равнобедренный(желательно с рисунком)

Answer 1

Я зогласен, что треугольник равносторонний (см. Пж)

Answer 2

Для начала докажем, что отрезки AK, BM и CE пересекаются в одной точке и образуют перпендикуляр. Поскольку точки K, M и E лежат на сторонах треугольника, то отрезки AK, BM и CE поделены соответственно в пропорциях: AK:KB = AK:AK = 1:1 BM:MB = BM:BM = 1:1 CE:AE = CE:EC = 1:1

Это означает, что точка K -- это середина отрезка AB, точка M -- середина отрезка BC и точка E -- середина отрезка AC. Треугольник AMK получается путем деления треугольника ABC на две равные части по горизонтальной прямой, проходящей через середину стороны AB. Таким образом, больший треугольник AMK подобен и равен меньшему треугольнику CEM, а также равнобедренному (AM = MK).

Также стоит отметить важное свойство окружности, вписанной в треугольник: касательная к окружности из вершины треугольника делит противолежащий угол пополам. Из свойства вписанной окружности следует, что углы AKB, BMA и CEA равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него только два угла равны между собой: угол B и угол A. Таким образом, треугольник ABC -- равнобедренный, причем сторона AB равна стороне BC.

В итоге, мы доказали, что треугольник ABC -- равнобедренный.