Question

Окружность S, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается боковых сторон AB и BC соответственно в точках K и L, и касается основания AC в точке M. Отрезок AL пересекает окружность S в точке N. Докажите, что Прямая KN проходит через середину отрезка AM. Помогите пожалуйста очень надо поставлю высший бал

Answer 1

Проще пока не получилось :

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся свойствами вписанных окружностей и теоремой о хордах в окружности.

Пусть O - центр вписанной окружности S, а R - радиус этой окружности. Также обозначим точки пересечения окружности S и отрезка AM как N' и K' (см. рисунок).

Так как окружность S касается сторон AB и BC, то точки K и L - это точки касания окружности с этими сторонами, и они делят эти стороны пополам. Это означает, что AK = KB и BL = LC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, поэтому мы можем сказать, что AM является медианой, а следовательно, она также является высотой и биссектрисой этого треугольника. Таким образом, AM делит треугольник ABC на два равных треугольника: AMB и AMC.

Также мы можем заметить, что NK и NL - это две хорды окружности S, и они равны по длине, так как они оба равны радиусу R окружности S (NK = NL = R).

Теперь мы имеем два подобных треугольника: AMB и AK'N'. Почему они подобны? Потому что у них есть два равных угла: угол AMB равен углу AK'N' (так как они опираются на одну и ту же хорду AN' и AR), и угол BMA равен углу K'AN' (по свойству равнобедренного треугольника).

Из подобия этих треугольников мы можем сделать вывод, что соотношение длин сторон в этих треугольниках также равно:

AB / AM = K'N' / AK'

Но мы знаем, что AK' = KB, и NL = R (радиус окружности S), поэтому мы можем записать:

AB / AM = R / R

Теперь видно, что AB / AM = 1, что означает, что AM равно половине длины AB:

AM = 1/2 * AB

Таким образом, прямая KN' (или KN) проходит через середину отрезка AM. Доказательство завершено.