Question

Прямі, які дотикаються до кола із центром О в точках А і В, перетинаються в точці К, кут АКВ дорівнює 120о. Доведіть, що АК + ВК = ОК. 50 баааааалллллллллллллоооооооооов

Answer 1

Насколько я поняла задачу, рисунок должен быть таким, как представлен в приложенном файле, тогда решение такое:
АК, ВК-касательные к окружности, по свойству касательных прямая КО является биссектрисой угла К, значит ∠ОКВ=120/2=60°,  ∠КОВ=90-60=30°, треугольник ОКВ-прямоугольный, значит гипотенуза равна двум катетам, лежащим против угла в 30 градусов.
ОК=2ВК, ВК=АК-как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. ⇒
АК+ВК=ОК

Answer 2

Для доведення рівності АК + ВК = ОК, давайте спростимо це геометричне твердження.

1. Розглянемо прямі, які дотикаються до кола в точках А і В. Оскільки кожна з цих прямих є дотичною до кола, то вони перпендикулярні до радіусів, проведених до точок дотику. Тобто, кут АОК і кут ВОК дорівнюють 90 градусів, оскільки вони є прямими кутами.

2. Даний умовою кут АКВ дорівнює 120 градусів.

3. Тепер ми можемо звернутися до трикутника АКО. У цьому трикутнику ми маємо кути: АОК (90 градусів), КАО (половина кута АКВ, тобто 60 градусів), і КАО (половина кута ВКА, тобто 60 градусів).

4. Таким чином, сума кутів в цьому трикутнику дорівнює 90 + 60 + 60 = 210 градусів.

5. Знамена виразу АК + ОК + ВК дорівнюють сумі кутів у трикутнику АКО, тобто 210 градусів.

6. Отже, ми маємо АК + ОК + ВК = 210 градусів.

7. Але ми вже знаємо, що кути АОК і ВОК дорівнюють по 90 градусів, отже, АОК + ВОК = 90 градусів.

8. Тепер ми можемо використовувати той факт, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, і отримати АОК + ОК + ВОК = 180 градусів.

9. З 7 і 8 пункту можна побачити, що АОК + ВОК + ОК = АОК + ОК + ВОК, і тому АК + ОК + ВК = АК + ВК + ОК.

10. Значить, АК + ВК + ОК = 180 градусів, а це означає, що АК + ВК + ОК = ОК + ОК = 2 * ОК.

11. Тепер поділимо обидві сторони на 2: (АК + ВК + ОК) / 2 = ОК.

12. Остаточно ми отримуємо АК + ВК = ОК, що і потрібно було довести.

Отже, доведено, що АК + ВК = ОК.