Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы

Answer 1

В прямоугольном треугольнике наибольший угол =90°⇒ против большего угла лежит большая сторона ⇒ гипотенуза -самая большая сторона прямоугольного треугольника.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Тогда теорема Пифагора записывается следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2

Теперь давайте проанализируем это уравнение. Следует отметить, что квадрат любого числа (включая c, a и b) всегда неотрицателен. Таким образом, a^2 и b^2 также неотрицательны.

Из этого следует, что a^2 + b^2 также неотрицательно. И так как c^2 равно сумме a^2 и b^2 (по теореме Пифагора), то c^2 должен быть больше или равен сумме a^2 и b^2.

Теперь давайте возьмем квадратный корень от обеих сторон неравенства:

c ≥ √(a^2 + b^2)

Таким образом, гипотенуза c всегда больше или равна квадратного корня из суммы квадратов катетов a и b. Это доказывает, что катет меньше гипотенузы в прямоугольном треугольнике.