Question

Помогите, прошу. Вершини трикутника ABC мають координати A (1; -6) B (-3; 1) C (3; -2). Знайдiть косинус кута A та довжину медiани BN

Answer 1

1) Расчет длин сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √65 ≈ 8,062257748.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √45 ≈ 6,708203932. 
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √20 ≈ 4,472135955.
Как видим, сумма квадратов сторон ВС и АС равна квадрату стороны АС.
Поэтому треугольник прямоугольный с прямым углом С.

2) cos A = AC/AB = √20/√65 = 2√13/13 ≈  0,5547.
 Угол А =  0,982794 радиан = 56,30993°.

3) Находим координаты точки N, как середины отрезка АС:
N((1+3)/2=2; (-6-2)/2=-4) = (2; -4).
BN = √((Хn-Хв)²+(Уn-Ув)²)) = √50 = 5√2 ≈ 7,071067812.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла A в треугольнике ABC, мы можем воспользоваться формулой косинуса:

$\cos A = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}$

1. Найдем длины сторон треугольника ABC:

   • Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$
   • Длина стороны AC: $AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
   • Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - (-6))^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

2. Подставим найденные значения в формулу косинуса:

$\cos A = \frac{(3\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2 - (\sqrt{65})^2}{2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{2})}$

$\cos A = \frac{45 + 32 - 65}{2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{12}{24\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{10}}$

Теперь найдем длину медианы BN. Медиана в треугольнике делит сторону пополам, поэтому BN будет равна половине длины стороны AC:

$BN = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, косинус угла A равен $\frac{1}{2\sqrt{10}}$, а длина медианы BN равна $2\sqrt{2}$.