Question

Стороны АВ, Ас, ВС треугольника АВС соответственно равны 13, 12 и 5, а отрезок ВD перпендикулярен плоскости этого треугольника. Докажите, что прямые СD и АС перпендикулярны

Answer 1

5, 12 и 13 - пифагоровы числа, 25 + 144 = 169; АВС - прямоугольный треугольник.

поэтому АС перпендикулярен СВ,

и АС перпендикулярен ВD (по условию)

поэтому АС перпендикулярен плоскости ВСD, а значит, и прямой CD

Answer 2

Для доказательства того, что прямые CD и AC перпендикулярны, давайте воспользуемся свойством перпендикулярности в треугольниках. Для начала, мы можем использовать теорему Пифагора, так как мы знаем длины сторон треугольника ABC.

1. Сначала найдем длину стороны BC, используя теорему Пифагора: BC^2 = AB^2 - AC^2 BC^2 = 13^2 - 12^2 BC^2 = 169 - 144 BC^2 = 25 BC = 5

2. Теперь у нас есть длины всех трех сторон треугольника ABC: AB = 13, AC = 12 и BC = 5.

3. Теперь рассмотрим треугольник BCD, где BD - высота, проведенная из вершины B. Мы знаем, что BC = 5, а AB = 13. Таким образом, прямоугольный треугольник BCD будет подобным треугольнику ABC (по правилу "подобные треугольники имеют пропорциональные стороны").

4. Теперь рассмотрим отношение сторон треугольников BCD и ABC: (BCD) / (ABC) = (BD / AB)

   Так как треугольники BCD и ABC подобны, то это отношение константно для всех трех пар сторон.

5. Мы знаем, что BD - это высота, проведенная из вершины B, и она перпендикулярна к стороне AC. Таким образом, отношение BD / AB равно 1, так как BD - это высота, равная половине стороны AC.

6. Следовательно, отношение (BCD) / (ABC) = 1. Это означает, что треугольники BCD и ABC подобны и имеют общий угол при вершине C.

7. Так как угол BCD прямой (поскольку BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC), а треугольник BCD подобен треугольнику ABC, то угол BCA (соответствующий уголу BCD) также прямой.

8. Следовательно, прямая CD перпендикулярна к прямой AC.

Таким образом, мы доказали, что прямые CD и AC перпендикулярны друг другу.