Question

Помогите с аналитической геометрией Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми x-7y-1=0 и x+y+7=0, в котором лежит точка a(1,1)

Answer 1

Ответ:

Сначала найдем угол между данными прямыми. Для этого переведем уравнения в общий вид:

x - 7y - 1 = 0 => y = (1/7)x - 1/7

x + y + 7 = 0 => y = -x - 7

Наклонные углы этих прямых будут равны тангенсам углов наклона:

tgα1 = 1/7

tgα2 = -1

Угол между прямыми найдем по формуле:

tgβ = |(tgα1 - tgα2) / (1 + tgα1 * tgα2)| = |(1/7 + 1) / (1 - 1/7)| = 8/3

Тогда угол β равен arctg(8/3), его половина будет равна arctg(8/6) = arctg(4/3)

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку a(1,1) и образующую с данными прямыми угол β/2.

Для этого воспользуемся формулой:

tg(β/2) = |(k1 - k2) / (1 + k1 * k2)|

где k1 и k2 - коэффициенты наклона данных прямых.

k1 = 1/7, k2 = -1

tg(β/2) = |(1/7 + 1) / (1 - 1/7)| = 4/3

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку a(1,1) и имеющей такой же тангенс угла наклона:

y - 1 = (4/3)*(x - 1)

3y - 3 = 4x - 4

4x - 3y + 1 = 0

Ответ: уравнение биссектрисы угла между прямыми x-7y-1=0 и x+y+7=0, проходящей через точку a(1,1), равно 4x - 3y + 1 = 0.

Answer 2

Для нахождения уравнения биссектрисы угла между двумя данными прямыми мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем угол между данными прямыми.
2. Используем найденный угол и точку $a(1,1)$, чтобы определить угол между биссектрисой и каждой из данных прямых.
3. Наконец, используем найденные углы и точку $a(1,1)$ для нахождения уравнения искомой биссектрисы.

Начнем с нахождения угла между данными прямыми $x-7y-1=0$ и $x+y+7=0$:

Для этого нам необходимо найти угол $\theta$ между этими прямыми, который определяется следующим образом:

$\tan(\theta) = \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}$

Где $m_1$ и $m_2$ - это коэффициенты наклона прямых $x-7y-1=0$ и $x+y+7=0$ соответственно.

Преобразуем уравнения прямых к форме $y = mx + c$, чтобы найти $m_1$ и $m_2$:

Для прямой $x-7y-1=0$ получаем:

$x - 7y - 1 = 0 \Rightarrow 7y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{1}{7}x - \frac{1}{7}$

Таким образом, $m_1 = \frac{1}{7}$.

Для прямой $x+y+7=0$ получаем:

$x + y + 7 = 0 \Rightarrow y = -x - 7$

Таким образом, $m_2 = -1$.

Подставляем значения в формулу для тангенса угла:

$\tan(\theta) = \frac{-1 - \frac{1}{7}}{1 + (-1)\cdot\frac{1}{7}}$ $\tan(\theta) = \frac{-\frac{8}{7}}{\frac{6}{7}} = -\frac{4}{3}$

Зная угол между данными прямыми и точку $a(1,1)$, мы можем найти углы между биссектрисой и данными прямыми, используя тригонометрические свойства.

После нахождения углов мы можем использовать формулу тангенса суммы углов, чтобы найти угол между биссектрисой и каждой из данных прямых.

Наконец, используя найденные углы и точку $a(1,1)$, можно найти уравнение искомой биссектрисы.