Question

1. Докажите,что катет прямоугольного треугольника,лежащий против угла в 30 градусах,равен половине гипотенузы.2.Докажите, что перпендикуляр,проведённый из точки к прямой,меньше любой наклонной,проведённой из этой точки к прямой.

Answer 1

1. Пририсуем еще один такой же треугольничек так, чтобы образовался треугольник с углом 30+30 = 60 градусов. Остальные 2 угла также 60 градусов - это углы прямоугольных треугольников. Итак, получился равторонний треугольник, поэтому его высота совпадает с медианой. Поэтому катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

 

2. Пусть нашлась наклонная, меньшая перпендикуляра. Тогда угол, лежащий против нее (прямой!) оказывается меньше угла, лежащего против перпендикуляра. Итак, в треугольнике объявились одновременно прямой и тупой углы, чего быть не может. Противоречие.

Answer 2

1. Доказательство, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы

Для доказательства этого утверждения воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольных треугольников и тригонометрическими соотношениями.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 90 градусов, угол ABC равен 30 градусов, BC - гипотенуза, и AC - катет, лежащий против угла в 30 градусов.

Мы хотим доказать, что AC = 0.5 * BC.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол ACB будет равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

Шаг 2: Разделим треугольник ABC на два равносторонних треугольника ACD и BCD, проведя высоту CD из вершины C на гипотенузу BC.

Шаг 3: Так как треугольник ACD - равносторонний, все его стороны равны между собой. Обозначим его сторону как x.

Шаг 4: Поскольку угол ACD равен 60 градусов, треугольник ACD является равносторонним, и все его углы равны между собой.

Шаг 5: Таким образом, угол ADC также равен 60 градусов.

Шаг 6: Поскольку угол ABC равен 30 градусов, угол BCD будет равен 90 - 30 = 60 градусов.

Шаг 7: Так как ADC и BCD имеют одинаковые углы, то они равны между собой.

Шаг 8: Посмотрим на треугольник BCD. Он является прямоугольным, поэтому мы можем использовать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Шаг 9: В прямоугольном треугольнике BCD гипотенуза BC равна 2x (так как BC = 2 * CD), а катет BD равен x.

Шаг 10: Таким образом, мы получаем равенство AC = 0.5 * BC, где AC = x, BC = 2x.

Таким образом, мы доказали, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

2. Доказательство, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из этой точки к прямой.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

У нас есть прямая AB, и мы хотим провести перпендикуляр CD из точки C к прямой AB. Также, у нас есть наклонная EF, проведенная из той же точки C к прямой AB.

Мы хотим доказать, что длина отрезка CD меньше длины отрезка EF.

Шаг 1: Рассмотрим треугольники ACD и BCF. Оба треугольника имеют общий катет AC, так как точка C находится на прямой AB.

Шаг 2: Так как треугольник ACD является прямоугольным (перпендикуляр проведен из точки C), то гипотенуза AD будет больше любой другой стороны этого треугольника.

Шаг 3: Также, так как треугольник BCF является обычным треугольником (наклонная проведена из точки C), то гипотенуза BF будет меньше суммы других двух сторон этого треугольника.

Шаг 4: Поскольку оба треугольника имеют общий катет AC и гипотенузы AD и BF, мы можем сделать вывод, что сторона CD будет меньше стороны EF.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к прямой.