Question

Докажите что если биссектрисы углов АОВ и ВОС перпендикулярны то точки А О и С лежат на одной прямой

Answer 1

Обозначим биссектрису угла АОВ- ОК, а биссектрису угла ВОС- ОМ
из условия ∠АОК=∠КОВ, ∠ВОМ=∠МОС и ∠КОМ=90°

∠КОМ=∠КОВ+∠ВОМ= 90° 
т.к. ∠КОВ=∠АОК а ∠ВОМ=∠МОС значит ∠АОК+∠МОС= 90°
∠СОА= ∠СОМ+∠МОВ+∠ВОК+∠КОА= 90°+90°=180°
а значит он развернутый и значит точки С, О, А -лежат на одной прямой

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно воспользоваться свойствами биссектрис углов. Если биссектрисы углов ∠AOV и ∠BOS перпендикулярны, то это означает, что они делят соответствующие углы пополам и пересекаются в точке O.

Давайте обозначим точку, в которой пересекаются биссектрисы, как O. Теперь нам нужно доказать, что точки A, O и C лежат на одной прямой.

Рассмотрим угол ∠AOV. Так как биссектриса угла ∠AOV пересекает этот угол, она делит его пополам, и поэтому угол ∠AOO' (где O' - это точка пересечения биссектрисы ∠AOV с линией AO) равен углу ∠O'OV.

Аналогично, рассмотрим угол ∠COV. Биссектриса угла ∠COV также делит его пополам, и угол ∠COO'' (где O'' - это точка пересечения биссектрисы ∠COV с линией CO) равен углу ∠O''OV.

Так как биссектрисы перпендикулярны, углы ∠AOO' и ∠COO'' равны (они оба равны углу VOO'). Теперь у нас есть два треугольника, ΔAOO' и ΔCOO'', в которых два угла равны друг другу. Согласно признаку равных углов, эти два треугольника подобны.

Теперь, с учетом того, что два треугольника подобны и имеют общую сторону OO', мы можем сделать вывод, что отрезок AC является прямой линией, так как в подобных треугольниках прямые линии параллельны и имеют общую точку (точку O). Следовательно, точки A, O и C лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что если биссектрисы углов ∠AOV и ∠BOS перпендикулярны, то точки A, O и C лежат на одной прямой.